#LyX 2.4 created this file. For more info see https://www.lyx.org/
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\textclass report
\begin_preamble
\usepackage{siunitx} %% Sistema Internacional de Unidades
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\usepackage{begriff2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Pacotes AMS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{natbib}
\usepackage[alf,abnt-and-type=&, abnt-etal-cite=2, abnt-etal-list = 0]{abntex2cite}

%% Pacote para identificar se está em página par ou ímpar.
%%=============================================================================================================
%% Pacotes - formatação de figuras
%%=============================================================================================================
%% Importar figuras corretamente
\usepackage{graphicx}
%% Diretório onde estão as figuras dos capítulos
%\usepackage{float}
%\usepackage{wrapfig}
%%=============================================================================================================
%% Pacotes - formatação de hyperlinks e urls
%%=============================================================================================================
%% Opção 'hidelinks' disponível no pacote 'hyperref' a partir da versão 2011-02-05  6.82a. 'hidelinks' retira 
%% os retângulos do entorno das palavras com links.
%\usepackage[bookmarksopen=true, linktoc=page, colorlinks=true,
           % linkcolor=blue, citecolor=blue, filecolor=magenta, urlcolor=blue,
          %  pdftitle={UFRuralRJ -- Classe LaTeX para formatação de documentos acadêmicos na UFRRJ},
          %  ]{hyperref}

%% Pacote para lidar com url longa, deve ser carregado depois do pacote 'hyperref'
%\usepackage[hyphenbreaks]{breakurl}
%
%\usepackage{pst-plot} % For axes
%\usepackage[space]{grffile} % For spaces in paths
%\usepackage{etoolbox} % For spaces in paths
\setlength{\parindent}{1.25cm}%

%% Definição do tamanho da fonte
\newcommand\LargeA{\@setfontsize\LargeA{24pt}{24.1pt}}
\newcommand\LargeB{\@setfontsize\LargeB{20pt}{20.1pt}}
\newcommand\LargeC{\@setfontsize\LargeC{18pt}{18.1pt}}
\newcommand\LargeD{\@setfontsize\LargeD{16pt}{16.1pt}}
\newcommand\LargeE{\@setfontsize\LargeE{14pt}{14.1pt}}
\newcommand\LargeF{\@setfontsize\LargeF{12pt}{12.1pt}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Margens otimizadas
%%=============================================================================
%% Margens do texto
%%=============================================================================
%% Definições gerais
\newlength{\mdt@topmargin}\setlength{\mdt@topmargin}{25mm}
\newlength{\mdt@bottommargin}\setlength{\mdt@bottommargin}{25mm}
\newlength{\mdt@pagenummargin}\setlength{\mdt@pagenummargin}{15mm}
\newlength{\mdt@sidemargin}\setlength{\mdt@sidemargin}{20mm}
\setlength{\marginparwidth}{25mm}

%% Ajuste das medidas verticais
\setlength{\topmargin}{\mdt@pagenummargin}
\addtolength{\topmargin}{-1em}
\addtolength{\topmargin}{-1in}
\setlength{\headheight}{1em}
\setlength{\headsep}{\mdt@topmargin}
\addtolength{\headsep}{-\mdt@pagenummargin}
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\addtolength{\textheight}{-\mdt@bottommargin}
\setlength{\footskip}{\mdt@bottommargin}
\addtolength{\footskip}{-\mdt@pagenummargin}

%% ocupado com uma barra horizontal. 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand*{\l@section}[2]{\@dottedtocline{1}{1em}{2.4em}{\textbf{#1}}{\hss #2}}
\renewcommand*{\l@subsection}{\@dottedtocline{2}{2em}{2.4em}}
\renewcommand*{\l@subsubsection}{\@dottedtocline{3}{3em}{3em}}
\renewcommand*{\l@paragraph}{\@dottedtocline{4}{4em}{3.8em}}

\newif\if@aftertoc
\@aftertocfalse
\renewcommand{\tableofcontents}{%
  \chapter*{\LargeF\contentsname}
  \@starttoc{toc}\@aftertoctrue%
}

%%==============================================================================
%% Adicionar todos os tipos de seção, subseção, etc no sumário
%%==============================================================================

%\part            | -1 (book and report) 0 (article)
%\chapter         | 0 (book and report only)
%\section         | 1
%\subsection      | 2
%\subsubsection   | 3
%\paragraph       | 4
%\subparagraph    | 5
\setcounter{secnumdepth}{5}
\setcounter{tocdepth}{5}

%%==============================================================================
%% Formatação das seções
%%==============================================================================

%% ASR: Os títulos das seções e subseções são precedidos por espaçamento de 20 pontos, e sucedidos por 
%%      espaçamento de 10 pontos.

%\renewcommand{\section}{%name, level, indent, beforeskip, afterskip, style
%        \@startsection{section}{1}{0pt}{18pt}{18pt}{\reset@font\bfseries\@setfontsize\Large{12}{20}}
%}

\renewcommand\section{\@startsection{section}{1}{0pt}%
                                   {20pt}%
                                   {10pt}%
                                   {\centering\reset@font\bfseries\@setfontsize\Large{12}{20}}}
\renewcommand\subsection{\@startsection{subsection}{2}{0pt}%
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                                   {\reset@font\bfseries\@setfontsize\Large{12}{20}}}
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                                   {20pt}%
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\renewcommand\paragraph{\@startsection{paragraph}{4}{0pt}%
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                                   {\reset@font\bfseries\@setfontsize\Large{12}{20}}}	
\renewcommand\subparagraph{\@startsection{subparagraph}{5}{0pt}%
                                   {1ex}%
                                   {-1em}%
                                   {\reset@font\bfseries\@setfontsize\Large{12}{20}}}

%%==============================================================================
%% Redefinição do formato de citações longas
%%==============================================================================

\renewenvironment{quote}{
  \footnotesize
  \begin{list}{}{\setlength{\leftmargin}{40mm}\item\relax}
}{
  \end{list}
  \vspace*{12pt}
}


%%=============================================================================
%% Notas de rodapé
%%=============================================================================

%% Numeração sequencial ao longo de todo o texto
\def\@removefromreset#1#2{{%
  \expandafter\let\csname c@#1\endcsname\@removefromreset
  \def\@elt##1{%
    \expandafter\ifx\csname c@##1\endcsname\@removefromreset
    \else
      \noexpand\@elt{##1}%
    \fi}%
  \expandafter\xdef\csname cl@#2\endcsname{%
    \csname cl@#2\endcsname}}}
	
\@removefromreset{footnote}{chapter}	

%% Filete de 3 cm acima da nota de rodapé a partir da margem esquerda
\renewcommand\footnoterule{%
  \kern-3\p@
  \hrule\@width.19\columnwidth
  \kern2.6\p@}

%% Sem indentação o texto da nota de rodapé  
\renewcommand\@makefntext[1]{%
  \noindent\makebox[0.5em][r]{\@makefnmark}~~#1}

%% Informações sobre o capítulo, geralmente usado no caso de documento no formato de capítulos.
%% A nota é adicionada na mesma página onde aparece o título do capítulo, sem interferir na numeração.
\newcommand\chapternote[1]{%
  \vspace*{-12.1pt} % Necessário para evitar adição de espaço
  \begingroup
  \renewcommand\thefootnote{}\footnote{\hspace{-1em}*~#1}%
  \addtocounter{footnote}{-1}%
  \endgroup
}

%%=============================================================================================================
%% FORMATAÇÃO DAS EQUAÇÕES
%%=============================================================================================================

%% ASR: O contador de equações está sendo redefinido para incluir apenas o número das seções (e não das 
%%      subseções). As informações para redefinição estão no endereço
%%      http://www.math.uh.edu/~torok/math_6298/latex/numbering.html
\setcounter{equation}{0}

\makeatother

%% Pacote para garantir a impressão dos itens da parte preliminar do documento acadêmico
%% na página da direita quando usadas as opções 'twoside' e 'openright'
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\def\ps@UFRuralRJ{
  \def\@oddfoot{\hspace*{\fill}{\small\thepage}}
  \def\@evenfoot{{\small\thepage}}
  \if@header
    \def\@evenhead{\scriptsize\@chaptertitle~\hrulefill}
    \def\@oddhead{\hrulefill~\scriptsize\@chaptertitle}
  \else
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    \let\@oddhead\@empty
  \fi
}
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Capa
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UFRRJ
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INSTITUTO DE CIÊNCIA HUMANAS E SOCIAIS
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CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FILOSOFIA
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\series bold
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Dissertação
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\begin_layout Standard
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\series bold
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Princípio de Hume:
 possibilidade de uma filosofia (neo) fregeana da aritmética?
\end_layout

\begin_layout Standard
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\begin_inset VSpace 20pt
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
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\series bold
\size large
Alessandro Bandeira Duarte 
\end_layout

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\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center

\series bold
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2004
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\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
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Folha de rosto
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\end_inset


\begin_inset ERT
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\end_inset


\begin_inset ERT
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\series bold
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\begin_inset ERT
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\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset


\size large
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
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\backslash

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\end_inset

I
\size large
NSTITUTO DE CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS
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\begin_inset ERT
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\backslash

\end_layout

\end_inset


\size large
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FILOSOFIA
\end_layout

\begin_layout Standard
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\begin_inset VSpace 20pt
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
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\series bold
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Princípio de Hume:
 possibilidade de uma filosofia (neo) fregeana da aritmética?
\end_layout

\begin_layout Standard
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\begin_inset VSpace 20pt
\end_inset


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\begin_layout Standard
\align center

\series bold
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Alessandro Bandeira Duarte
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\align center
\begin_inset VSpace 15pt
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
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\size large
\emph on
Sob a Orientação do(a) Professor(a
\size default
)
\emph default

\begin_inset ERT
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\begin_layout Plain Layout


\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset


\series bold
\size large
Oswaldo Chateaubriand Filho
\end_layout

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\size large
Dissertação submetida como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre(a),
 no Curso de Pós-Graduação em Filosofia,
 Área de Concentração em Filosofia.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset VSpace 10pt
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
Seropédica,
 RJ
\begin_inset ERT
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\begin_layout Plain Layout


\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset

Fevereiro de 2004
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\begin_inset ERT
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\begin_layout Plain Layout


\backslash
noindent
\end_layout

\end_inset


\begin_inset ERT
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\backslash
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\end_inset


\series bold
\size large
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
\begin_inset ERT
status open

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\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset

INSTITUTO DE CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS
\begin_inset ERT
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\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FILOSOFIA
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset VSpace 10pt
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center

\series bold
\size large
ALESSANDRO BANDEIRA DUARTE
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Em caixa alta
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
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\begin_inset VSpace 20pt
\end_inset


\begin_inset ERT
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\begin_layout Plain Layout


\backslash
noindent
\end_layout

\end_inset

 Dissertação submetida como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Filosofia,
 no Curso de Pós-Graduação em Filosofia,
 área de Concentração em Filosofia.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\align block
\begin_inset VSpace 30pt
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
noindent
\end_layout

\end_inset


\size large
MONOGRAFIA APROVADA EM 16/02/2004
\end_layout

\begin_layout Standard
\align block
\begin_inset VSpace 30pt
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
_______________________________________________
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset

Oswaldo Chateaubriand Filho.
 Dr.
 PUC-Rio
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset

(Orientador)
\end_layout

\begin_layout Standard
\align block
\begin_inset VSpace 30pt
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
_______________________________________________
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset

Luzi Carlos P.
 D.
 Pereira.
 Dr.
 PUC-Rio
\end_layout

\begin_layout Standard
\align block
\begin_inset VSpace 30pt
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
_______________________________________________
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset

Marco Caron Ruffino.
 Dr.
 UFRJ
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
thispagestyle{empty}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter*

\series bold
Agradecimentos
\end_layout

\begin_layout Standard
Agradeço à minha família que me apoiou em todos os momentos difíceis;
 a Eleonora,
 pela paciência e carinho;
 a Stefano Stival,
 Michael Pontes e Luciano da Silva pelas nossas conversas informais que edificaram muitas ideias;
 a Flávio Esteves,
 por sua grande amizade;
 ao meu grande amigo José Rubens que mesmo distante sempre teve uma palavra amiga;
 aos Profs.
 Drs.
 Luiz Carlos P.
 D.
 Pereira e Danilo Marcondes de Souza Filho que se dispuseram a participar da Banca Examinadora;
 ao Prof.
 Dr.
 Marco Ruffino,
 pela sua amizade;
 aos Profs.
 Drs.
 Richard Heck,
 Christian Thiel e Gottfried Gabriel pela colaboração e atenção sobre a tradução da carta de Frege a Russell (28/7/1902);
 finalmente,
 ao meu orientador Prof.
 Dr.
 Oswaldo Chateaubriand pela sua pela orientação e paciência.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
thispagestyle{empty}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
thispagestyle{empty}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter*

\series bold
\size giant
Resumo
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noindent 
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\end_inset

DUARTE
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
CAIXA ALTA
\end_layout

\end_inset

,
 Alessandro Bandeira.
 
\series bold
Princí­pio de Hume:
 possibilidade de uma filosofia (neo) fregeana da aritmética?
\series default

\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Em negrito
\end_layout

\end_inset

.
 2004.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
pageref{LastPage}
\end_layout

\end_inset

.
 Dissertação (Mestrado em Filosofia).
 Instituto de Ciências Humanas e Sociais,
 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro,
 Seropédica,
 RJ,
 2004.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace 30pt
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
noindent
\end_layout

\end_inset

 A dissertação apresenta e discute as ideias desenvolvidas por Crispin Wright no livro Frege’s Conception of Numbers as Objects (1983),
 em particular,
 a sua tese de que a aritmética é analítica.
 Wright deposita toda sua força argumentativa (em relação à analiticidade da aritmética) na derivação dos axiomas da aritmética de segunda ordem de Dedekind-Peano a partir do Princípio de Hume.
 Assim,
 é nosso principal objetivo apresentar e discutir em que medida o Princípio de Hume é capaz de fornecer,
 segundo Wright,
 um relato da analiticidade da aritmética,
 assim como,
 as objeções a esse relato.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace 20pt
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
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\begin_layout Plain Layout


\backslash
noindent
\end_layout

\end_inset


\series bold
Palavras-chave
\series default
:
 Princípio de Hume;
 logicismo;
 analiticidade;
 Frege;
 Crispin Wright
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
thispagestyle{empty}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter*
Abstract
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\backslash
noindent 
\end_layout

\end_inset

DUARTE
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
CAIXA ALTA
\end_layout

\end_inset

,
 Alessandro Bandeira.
 
\series bold
Hume's Principle:
 possibility of a (neo) fregean philosophy of arithmetic?
\series default

\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Em negrito
\end_layout

\end_inset

.
 2004.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
pageref{LastPage}
\end_layout

\end_inset

.
 Dissertation (Master in Philosophy).
 Instituto de Ciências Humanas e Sociais,
 Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro,
 Seropédica,
 RJ,
 2004.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace 30pt
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
noindent
\end_layout

\end_inset

 
\lang english
The dissertation presents and discusses the ideas developed by Crispin Wright in his book Frege's Conception of Numbers as Objects (1983),
 in particular his thesis that arithmetic is analytic.
 Wright concentrates all his argumentative efforts (in relation to the analyticity of arithmetic) on the derivation of the axioms of Dedekind-Peano's second order arithmetic from Hume's Principle.
 Thus,
 it is our main goal to present and discuss how Hume's Principle provides,
 according to Wright,
 an explanation of the analytic character of arithmetic as well as some objections to this account.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace 20pt
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
noindent
\end_layout

\end_inset


\series bold
Keywords
\series default
:
 Hume's principle;
 logicism;
 analyticity;
 Frege;
 Crispin Wright.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
thispagestyle{empty}
\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset toc
LatexCommand tableofcontents

\end_inset


\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
thispagestyle{empty}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter

\series bold
Introdução
\series default
 
\end_layout

\begin_layout Standard
O objeto de análise e discussão da presente dissertação é o agora conhecido 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
.
 Talvez o leitor não esteja familiarizado com tal nomenclatura filosófica,
 mas certamente,
 pelo menos se conhece Frege e,
 principalmente,
 se leu 
\shape italic
Die Grundlagen der Arithmetik
\shape default
 (1884
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
nocite{Frege1998a}
\backslash
nocite{Frege1988}
\end_layout

\end_inset

),
 reconhecerá tal princípio.
 Trata-se da segunda definição de número cardinal que Frege apresenta e rejeita em 
\shape italic
Die Grundlagen der Arithmetik
\shape default
,
 §§62-7
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Em 
\series bold
2
\series default
 da presente dissertação,
 discutiremos o motivo pelo qual Frege é obrigado a rejeitar o 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
.
\end_layout

\end_inset

.
 O 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
 tem a seguinte forma
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Até onde sabemos,
 foi Boolos (1990) que cunhou o nome 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
.
\end_layout

\end_inset

:
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\forall F\forall G(N_{x}Fx=N_{x}Gx\leftrightarrow F1-1G)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
onde 
\begin_inset Formula $N_{x}Fx$
\end_inset

 significa o número que pertence ao conceito 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 ou,
 resumindo,
 o número de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

s e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F1-1G$
\end_layout

\end_inset

 significa que existe uma correlação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1-1$
\end_layout

\end_inset

 entre os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

s e os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

s (ou,
 como Frege diz,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

 são equinuméricos)
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Veja 
\series bold
2
\series default
,
 seção 
\series bold
2.5.3
\series default
.
\end_layout

\end_inset

.
 O 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
 poderia ser,
 então,
 expresso por:
\end_layout

\begin_layout Itemize
\noindent

\shape italic
Para quaisquer conceitos F e G,
 o número de Fs é igual ao número de Gs se e somente se os Fs estão em uma correspondência 1-1 com os Gs.
\end_layout

\begin_layout Standard
O 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
 é um princípio de abstração e os princípios de abstração têm a seguinte forma:
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\forall\alpha\forall\beta(\Sigma(\alpha)=\Sigma(\beta)\leftrightarrow\alpha\approx\beta)$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
onde 
\begin_inset Formula $\Sigma...x...$
\end_inset

 é um operador formador de termos singulares,
 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 são as entidades do domínio original ou primitivo (
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 podem ser objetos,
 conceitos de primeira ordem,
 conceitos de segunda ordem,
 e assim por diante)
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
No caso do Princípio de Hume,
 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 são conceitos de primeira ordem.
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\approx$
\end_inset

 é uma relação de equivalência (ou seja,
 uma relação transitiva,
 simétrica e reflexiva) sobre as entidades do domínio original ou primitivo.
 Note que a relação de 
\shape italic
equinumerosidade
\shape default
 é uma relação de equivalência
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 é equinumérico a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

,
 ou seja,
 se existe uma relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 que coordena 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1-1$
\end_layout

\end_inset

 os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

s e os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

s,
 e se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

 é equinumérico a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$H$
\end_layout

\end_inset

,
 ou seja,
 se existe uma relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 que coordena 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1-1$
\end_layout

\end_inset

 os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

s e os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$H$
\end_layout

\end_inset

s,
 então podemos construir,
 em geral,
 uma relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$T$
\end_layout

\end_inset

 que coordena 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1-1$
\end_layout

\end_inset

 os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

s e os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$H$
\end_layout

\end_inset

s,
 a saber,
 a relação composta 
\begin_inset Formula $S\circ R$
\end_inset

.
 Aqui é claro precisamos provar:
 
\begin_inset Formula $S\circ R$
\end_inset

 é uma função e a inversa de 
\begin_inset Formula $S\circ R$
\end_inset

 é também uma função.
 A prova não é difícil,
 mas não a executaremos aqui.
 Apenas indicaremos que ela é dada por redução ao absurdo.
 Assuma que 
\begin_inset Formula $S\circ R$
\end_inset

 não é uma função,
 ou seja,
 existe pelo menos dois pares ordenados 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$<x,y>,<x,z>
\backslash
in S
\backslash
circ R$
\end_layout

\end_inset

 (
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset

 diferente de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$z$
\end_layout

\end_inset

).
 Veremos então que ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 não é função,
 contrariando a hipótese inicial.
 O mesmo tipo de argumento pode ser usado para mostrar que a inversa de 
\begin_inset Formula $S\circ R$
\end_inset

 é uma função;
 e também que 
\begin_inset Formula $S\circ R$
\end_inset

 é uma injeção dos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

s nos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$H$
\end_layout

\end_inset

s e a inversa de 
\begin_inset Formula $S\circ R$
\end_inset

 é uma injeção dos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$H$
\end_layout

\end_inset

s nos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

s.
 Com isso,
 mostramos que a relação de equinumerosidade é transitiva (simbolicamente 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F1-1G 
\backslash
&
\backslash
 G1-1H
\backslash
rightarrow F1-1H$
\end_layout

\end_inset

).
 Se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 é equinumérico a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

,
 ou seja,
 se existe uma relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 que coordena 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1-1$
\end_layout

\end_inset

 os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

s e os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

s,
 então podemos construir uma relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 que coordena 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1-1$
\end_layout

\end_inset

 os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

s e os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

s,
 a saber,
 a inversa de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

.
 E,
 é claro,
 podemos construir uma relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 que coordena 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1-1$
\end_layout

\end_inset

 os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

s e os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

s,
 a saber,
 a relação de identidade (aqui,
 outras relações poderiam ser escolhidas,
 mas a mais natural,
 parece,
 é a relação de identidade).
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Em 
\shape italic
Die Grundlagen der Arithmetik
\shape default

\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
§§63-67.
\end_layout

\end_inset

,
 Frege formula várias instâncias de princípios de abstração.
 Uma delas é o 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
 apresentado acima,
 mas há também o 
\series bold
Princípio de Direção
\series default

\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\noindent
\align block
Para quaisquer retas 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset

,
 a direção da reta 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 = a direção da reta 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset

 se e somente se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 é paralela ou igual a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
A relação 
\shape italic
x é paralela ou igual a y
\shape default
 é uma relação de equivalência (sobre as entidades indicadas - retas).
\end_layout

\end_inset

.

\shape italic
 
\shape default
Em símbolos:
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
\align center
\begin_inset Formula $\forall a\forall b(D(a)=D(b)\leftrightarrow a\parallel b)$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e o 
\series bold
Princípio da Forma
\end_layout

\begin_layout Itemize
\noindent
Para quaisquer figuras 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset

,
 a forma da figura 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 = a forma da figura 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset

 se e somente se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 é congruente ou igual a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
A relação 
\shape italic
x é congruente ou igual a y
\shape default
 também é uma relação de equivalência (sobre as entidades indicadas – figura).
\end_layout

\end_inset

.
 Em símbolos:
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
\align center
\begin_inset Formula $\forall a\forall b(D(a)=D(b)\leftrightarrow a\cong b)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Mais tarde,
 em Grundgesetze der Arithmetik (
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1^o$
\end_layout

\end_inset

 volume – 1893;
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$2^o$
\end_layout

\end_inset

 volume – 1903),
 Frege apresenta um outro princípio de abstração – a Lei Básica V:
\end_layout

\begin_layout Itemize
\noindent
para quaisquer conceitos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

,
 a extensão do conceito 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 = a extensão do conceito 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

 se e somente se os conceitos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

 são coextensionais.
 Em símbolos:
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
\align center
\begin_inset Formula $\forall F\forall G[\{x:Fx\}=\{x:Gx\}\leftrightarrow\forall x(Fx\leftrightarrow Gx)]$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
O papel dos princípios de abstração é introduzir “novos objetos” (objetos abstratos) no domínio dos objetos.
 Vale enfatizar a seguinte questão:
 a relação de equivalência que ocorre no lado direito dos princípios de abstração divide o domínio original das entidades (as entidades relevantes à relação de equivalência) em classes de equivalências,
 de maneira que se duas entidades pertencem à mesma classe de equivalência,
 então será associado a estas entidades o mesmo “novo objeto” (objeto abstrato).
 É também interessante mencionar que o operador formador de termos 
\begin_inset Formula $\mathrm{\Sigma...x...}$
\end_inset

 pode ser entendido como uma função 1-1 entre as classes de equivalências e os objetos (abstratos).
\end_layout

\begin_layout Standard
Os princípios de abstração implicam que esteja associado a toda entidade do domínio original (relevante à relação de equivalência) um objeto abstrato.
 Considere,
 por exemplo,
 o Princípio de Direção.
 Como toda reta (dado que retas existem) é paralela ou igual a si mesma,
 ocorrerá então a seguinte situação:
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $D(a)=D(a)\leftrightarrow a\parallel a$
\end_inset

 (uma instância do Princípio de Direção).
 Mas,
 temos que 
\begin_inset Formula $a\Vert a$
\end_inset

.
 Por lógica proposicional,
 segue-se,
 portanto,
 que 
\begin_inset Formula $D(a)=D(a)$
\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Como afirmamos acima,
 o operador 
\begin_inset Formula $D...x...$
\end_inset

 é um operador formador de termos (singulares),
 portanto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$Da$
\end_layout

\end_inset

 é um nome de um objeto,
 no caso,
 um objeto abstrato.
 Na verdade,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$Da$
\end_layout

\end_inset

 é referencial devido ao princípio do contexto.
 Veja 3.
\end_layout

\end_inset

.
 E,
 por lógica de predicados,
 obtemos 
\begin_inset Formula $\exists x(x=D(a))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Em última análise,
 o 
\series bold
Princípio de Direção
\series default
 implica que toda reta tem uma direção (o objeto abstrato intimamente relacionado à reta).
 O mesmo ocorre com o 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
,
 com o 
\series bold
Princípio da Forma
\series default
 e com a 
\series bold
Lei Básica V
\series default
,
 ou seja,
 estes princípios implicam que todo conceito tem um número cardinal,
 toda figura tem uma forma e todo conceito tem uma extensão,
 respectivamente
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Uma vez que a relação de equivalência é reflexiva,
 teremos,
 em geral,
 que 
\begin_inset Formula $\alpha\thickapprox\alpha$
\end_inset

 e,
 portanto,
 
\begin_inset Formula $\Sigma(a)=\Sigma(a)$
\end_inset

.
 E,
 assim,
 
\begin_inset Formula $\exists x(x=\Sigma(a))$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Mas,
 é justamente neste ponto que alguns princípios de abstração falham.
 O caso clássico é a 
\series bold
Lei Básica V
\series default
.
 Como é bem conhecido,
 o sistema formal de 
\shape italic
Grundgesetze der Arithmetik
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
nocite{Frege1998b}
\end_layout

\end_inset


\shape default
 é inconsistente
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
No dia 16 de junho de 1902,
 Frege recebera uma carta enviada por Russell na qual este lhe informara que uma contradição era derivada do seu sistema formal de 
\shape italic
Grundgesetze der Arithmetik
\shape default
.
\end_layout

\end_inset

 e a responsável pela derivação da contradição é a 
\series bold
Lei Básica V
\series default

\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Para derivar a contradição,
 considere o conceito Russelliano 
\shape italic
não ser membro de si mesmo
\shape default
,
 isto é,
 
\begin_inset Formula $\exists G(\xi=\{x:Gx\}\ \&\ \neg G\xi)$
\end_inset

.
 Abrevie este conceito por 
\begin_inset Formula $F\xi$
\end_inset

.
 Portanto,
 o conceito 
\shape italic
não ser membro de si mesmo
\shape default
 tem de ter,
 pela 
\series bold
Lei Básica V
\series default
,
 uma extensão,
 a saber,
 
\begin_inset Formula $\{w:\exists G(w=\{x:Gx\}\ \&\ \neg Gw)$
\end_inset

.
 Denote 
\begin_inset Formula $\{w:\exists G(w=\{x:Gx\}\ \&\ \neg Gw)\}$
\end_inset

 de 
\series bold
j
\series default
.
 E abrevie 
\begin_inset Formula $\{w:\exists G(w=\{x:Gx\}\ \&\ \neg Gw)\}$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $\{x:Fx\}$
\end_inset

.
 Então 
\begin_inset Formula $\mathbf{j}=\{x:Fx\}$
\end_inset

.
 Agora,
 suponha que 
\series bold
j
\series default
 satisfaz a condição de 
\shape italic
não ser membro de si mesmo
\shape default
,
 isto é,
 
\begin_inset Formula $F\mathbf{j}$
\end_inset

.
 Pela 
\series bold
Lei Básica V
\series default
,
 obtemos que 
\begin_inset Formula $\{x:Gx\}=\{x:Fx\}\leftrightarrow(G\mathbf{j}\leftrightarrow F\mathbf{j})$
\end_inset

,
 para algum conceito 
\begin_inset Formula $G\xi$
\end_inset

.
 Mas,
 como 
\begin_inset Formula $\mathbf{j}=\{x:Fx\}$
\end_inset

,
 então temos 
\begin_inset Formula $\{x:Gx\}=\mathbf{j}\rightarrow(G\mathbf{j}\leftrightarrow F\mathbf{j})$
\end_inset

.
 Por lógica proposicional,
 temos 
\begin_inset Formula $(\{x:Gx\}=\mathbf{j})\rightarrow(F\mathbf{j}\rightarrow G\mathbf{j})$
\end_inset

.
 Novamente,
 por lógica proposicional,
 
\begin_inset Formula $F\mathbf{j}\rightarrow((\{x:Gx\}=\mathbf{j})\rightarrow G\mathbf{j})$
\end_inset

.
 Generalize universalmente:
 
\begin_inset Formula $F\mathbf{j}\rightarrow\forall H[(\{x:Hx\}=\mathbf{j})\rightarrow H\mathbf{j}]$
\end_inset

.
 Por lógica de predicados:
 
\begin_inset Formula $F\mathbf{j}\rightarrow\neg\exists H[(\{x:Hx\}=\mathbf{j})\ \&\ \neg H\mathbf{j}]$
\end_inset

.
 Mas,
 
\begin_inset Formula $\neg\exists H[(\{x:Hx\}=\xi)\ \&\ \neg H\xi]$
\end_inset

 é a negação do conceito 
\shape italic
não ser membro de si mesmo
\shape default
,
 ou seja,
 
\begin_inset Formula $\neg F\xi$
\end_inset

.
 Portanto,
 
\begin_inset Formula $F\mathbf{j}\rightarrow F\mathbf{j}$
\end_inset

.
 Suponha agora que 
\series bold
j
\series default
 não satisfaz a condição de 
\shape italic
não ser membro de si mesmo
\shape default
,
 isto é,
 
\begin_inset Formula $\neg F\mathbf{j}$
\end_inset

.
 Uma vez que 
\begin_inset Formula $\neg F\mathbf{j}$
\end_inset

 é 
\begin_inset Formula $\neg\exists H[(\{x:Hx\}=\xi)\ \&\ \neg H\xi]$
\end_inset

 e este,
 por sua vez,
 é equivalente a 
\begin_inset Formula $\forall H[(\{x:Hx\}=\mathbf{j})\rightarrow H\mathbf{j}]$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $\neg F\mathbf{j}\rightarrow\neg F\mathbf{j}$
\end_inset

,
 então temos 
\begin_inset Formula $\neg F\mathbf{j}\rightarrow\forall H[(\{x:Hx\}=\mathbf{j})\rightarrow H\mathbf{j}]$
\end_inset

.
 Instancie universalmente,
 então 
\begin_inset Formula $\neg F\mathbf{j}\rightarrow[(\{x:Fx\}=\mathbf{j})\rightarrow F\mathbf{j}]$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $\mathbf{j}=\{x:Fx\}$
\end_inset

,
 segue-se que 
\begin_inset Formula $\neg F\mathbf{j}\rightarrow F\mathbf{j}$
\end_inset

.
 Contradição.
\end_layout

\end_inset

.
 No caso da 
\series bold
Lei Básica V
\series default
,
 não é verdadeiro afirmar,
 por causa da contradição,
 que todo conceito tem um objeto (abstrato) intimamente relacionado a ele,
 sua extensão.
\end_layout

\begin_layout Standard
Outra forma de perceber a contradição engendrada pela 
\series bold
Lei Básica V
\series default
 é entender o que se segue:
 a relação de equivalência no lado direito dos princípios de abstração separa o domínio original das entidades em classes de equivalência.
 No caso da 
\series bold
Lei Básica V
\series default
,
 a relação de equivalência é a coextensionalidade.
 Na 
\series bold
Lei Básica V
\series default
,
 as entidades do domínio original são,
 como no Princípio de Hume,
 conceitos de primeira ordem,
 ou seja,
 conceitos sob os quais caem objetos.
 Para facilitar nosso argumento,
 vamos admitir que os conceitos de primeira ordem sejam [extensionalmente] conjuntos de objetos.
 Se o domínio dos objetos tem cardinalidade 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

 (
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

 finito ou infinito),
 então o domínio dos conceitos é o conjunto de subconjuntos do domínio dos objetos e,
 segundo o teorema de Cantor,
 este domínio terá a cardinalidade 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$2^n>n$
\end_layout

\end_inset

.
 O problema central da 
\series bold
Lei Básica V
\series default
 é que as classes de equivalência produzidas pela relação de coextensionalidade têm a mesma cardinalidade que o domínio dos conceitos,
 ou seja,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$2^n$
\end_layout

\end_inset

.
 Exemplificarei,
 para tornar mais claro o raciocínio:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Seja o domínio dos objetos D={1,2,3}.
 Portanto,
 o domínio dos conceitos é 
\series bold
D
\series default
={Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
 A relação de coextensividade dividirá o domínio 
\series bold
D
\series default
 nas seguintes classes de equivalência,
 a saber,
 
\series bold
CD
\series default
={[Ø],
 [{1}],
 [{2}],
 [{3}],
 [{1,2}],
 [{1,3}],
 [{2,3}],
 [{1,2,3}]}.
 Note que
\series bold
 D
\series default
 e 
\series bold
CD
\series default
 são conjuntos equinuméricos e têm a mesma cardinalidade:
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$2^n$
\end_layout

\end_inset

,
 onde 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

 é a cardinalidade de D.
\end_layout

\begin_layout Standard
Uma vez que o domínio dos objetos (seja finito,
 seja infinito) é menor que o domínio dos conceitos de primeira ordem,
 então não existirá nenhuma função 1-1 das classes de equivalências formadas pela relação de coextensividade nos objetos.
 Isto significa que alguns termos formados através do operador 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
{x:...x...
\backslash
}$
\end_layout

\end_inset

 (quando este é anexado a um conceito de primeira ordem) nem sempre terão uma denotação ou referência
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Uma questão que poderia surgir aqui é a seguinte:
 uma vez que,
 para Frege,
 o papel dos princípios de abstração é introduzir novos “objetos” no domínio dos objetos,
 então a conclusão que nem sempre os termos formados a partir do operador 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
{x:...x
\backslash
}$
\end_layout

\end_inset

 têm denotação parece ser falsa.
 Isto porque a conclusão acima foi tirada sobre o domínio original dos objetos e não sobre o domínio estendido.
 Entretanto,
 mesmo se admitirmos isto,
 segue-se que o domínio dos conceitos de primeira ordem seria também estendido,
 de maneira que se o domínio estendido dos objetos tiver a cardinalidade 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n'$
\end_layout

\end_inset

,
 então o domínio estendido dos conceitos terá a cardinalidade 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$2^{n'}$
\end_layout

\end_inset

.
 Isto se deve,
 é claro,
 ao caráter impredicativo da 
\series bold
Lei Básica V
\series default
.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
A derivação da contradição em
\shape italic
 Grundgesetze der Arithmetik
\shape default
 pôs fim à tentativa de Frege provar as verdades da aritmética a partir das leis da lógica e definições matemáticas adequadas
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
É uma questão difícil saber o que Frege entendia por definição matemática adequada.
 Não deveremos tratar minuciosamente dessa questão na presente dissertação,
 mas,
 em 
\series bold
2
\series default
,
 apresentaremos e comentaremos algumas definições matemáticas elaboradas por Frege em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
 (1879).
\end_layout

\end_inset

 —
 esta tese é conhecida por logicismo
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Em 2,
 discutiremos o projeto logicista de Frege.
\end_layout

\end_inset

.
 Em última análise,
 o objetivo de Frege era mostrar que as verdades da aritmética são analíticas,
 verdades que respeitariam o princípio de não-contradição.
 E qual era o papel da 
\series bold
Lei Básica V
\series default
?
 Existe uma série de interpretações com respeito a esta questão na literatura secundária sobre Frege.
 Uma dessas interpretações defende que as extensões de conceito são os objetos proeminentemente lógicos,
 uma vez que as extensões de conceito têm uma íntima relação com os conceitos que são os “objetos”
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Para Frege,
 objetos e conceitos são entidades de naturezas diferentes,
 por isso,
 na passagem “os conceitos que são os ‘objetos’ de estudo da lógica”,
 colocamos as aspas na palavra objeto.
 'Objeto',
 nessa passagem,
 deve ser entendido como a(s) entidade(s) que é (são) estudada(s) por uma determinada ciência.
 As entidades primordiais que a lógica estuda (para Frege,
 lógica é uma ciência) são os conceitos.
\end_layout

\end_inset

 de estudo da lógica.
 Esta interpretação parece ser plausível,
 porque Frege,
 tentando executar o projeto logicista,
 tem de provar a existência de infinitos objetos (os números naturais),
 mas se estes objetos não fossem lógicos,
 então a tentativa fracassaria
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
A 
\series bold
Lei Básica V
\series default
 implica a existência de infinitas extensões de conceito que são os objetos intimamente ligados aos conceitos e,
 portanto,
 segundo Frege,
 elas seriam lógicas.
 Os números naturais (e também os reais) são definidos como sendo certas extensões de conceito.
 Assim,
 é possível provar a existência de infinitos números naturais que são objetos lógicos.
 Para uma maior discussão,
 veja 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline{Ruffino1996,
 Ruffino2000}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
 O problema é que a noção lógica de extensão de conceito é problemática,
 devido à contradição derivada da Lei Básica V,
 o princípio de abstração que governava a introdução de novos objetos no domínio – as extensões.
 Mas,
 Frege realmente precisaria abandonar o projeto logicista?
\end_layout

\begin_layout Standard
Segundo Crispin Wright (1983
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
nocite{Wright1983}
\end_layout

\end_inset

),
 é possível defender a tese logicista,
 em termos análogos aos de Frege,
 em relação à aritmética.
 Em 
\shape italic
Die Grundlagen der Arithmetik
\shape default
,
 depois de apresentar e rejeitar o 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
 como uma possível definição de número cardinal,
 Frege o prova imediatamente da sua terceira e última definição de número cardinal (a definição explícita).
 Como Wright muito bem observou,
 os demais teoremas em 
\shape italic
Die Grundlagen der Arithmetik
\shape default
 são derivados (na verdade,
 Frege dá esboços das provas) do 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
.
 Wright propõe,
 então,
 adicionar o 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
 como um axioma a uma lógica de segunda ordem adequada (ou seja,
 uma lógica de segunda ordem com o esquema de axioma de compreensão impredicativo).
 É possível derivar da teoria resultante mais as definições Fregeanas de 
\series bold
Zero
\series default
,
 
\series bold
Número Natural
\series default
 e 
\series bold
Sucessor
\series default
,
 como Wright mostra,
 os axiomas da aritmética de segunda ordem de Dedekind-Peano (
\series bold
PA2
\series default
)
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline{Parsons1995}
\end_layout

\end_inset

 fizera esta mesma observação.
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Os axiomas da aritmética de Peano de segunda ordem são:
 (1) 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}(0)$
\end_inset

,
 ou seja,
 zero é um número natural;
 (2) 
\begin_inset Formula $\forall x(\mathbb{N}(x)\rightarrow\mathbb{N}(Sx))$
\end_inset

,
 ou seja,
 todo sucessor de um número natural é também um número natural (a relação de sucessor é fechada sobre os números naturais);
 (3) 
\begin_inset Formula $\forall x\forall y[((\mathbb{N}(x)\ \&\ \mathbb{N}(y))\ \&\ x\neq y)\rightarrow S(x)\neq S(y)]$
\end_inset

,
 ou seja,
 dois números naturais diferentes têm sucessores diferentes;
 (4) 
\begin_inset Formula $\forall x(\mathbb{N}(x)\rightarrow0\neq S(x))$
\end_inset

,
 ou seja,
 zero não é o sucessor de nenhum número natural;
 (5) 
\begin_inset Formula $\forall F\{[F(0)\ \&\ \forall x[\mathbb{N}(x)\ \&\ F(x)\rightarrow F(S(x)))]\rightarrow\forall y(\mathbb{N}(y)\rightarrow F(y))\}$
\end_inset

,
 isto é,
 a indução matemática:
 para qualquer propriedade 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

,
 se ela é válida para 0 e válida para sucessor de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 quando ela válida para 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

,
 então ela válida para todos os naturais.
 A aritmética resultante do Princípio de Hume + lógica de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$2^a$
\end_layout

\end_inset

 ordem + definições Fregeanas é chamada de 
\series bold
Aritmética de Frege
\series default
 (
\series bold
FA
\series default
).
 E a prova dos axiomas de 
\series bold
PA2
\series default
 a partir do 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
 é conhecida por 
\series bold
Teorema de Frege
\series default
.
\end_layout

\end_inset

.
 Wright sustenta que existem boas razões para defender que a prova de 
\series bold
PA2
\series default
 da teoria resultante da adição do 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
 à lógica de segunda ordem (mais definições Fregeanas de 
\series bold
Zero
\series default
,
 
\series bold
Número Natural 
\series default
e 
\series bold
Sucesso
\series default
r) estabelece uma espécie de logicismo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para defender o logicismo proposto acima,
 Wright teria de mostrar que (1) o 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
 é verdadeiro ou,
 pelo menos,
 consistente;
 (2) a lógica de segunda ordem é realmente lógica e,
 portanto,
 analítica
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cfcite{Quine1970}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

;
 (3) o Princípio de Hume é analítico.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como afirmamos na abertura do primeiro parágrafo dessa introdução,
 o objeto de análise e discussão da presente dissertação é o 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
.
 Assim,
 não discutiremos (2) aqui.
 (1) já foi estabelecida por John Burgess (1984) e Boolos (1987b)
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Apresentaremos informalmente uma prova da consistência do 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
.
 Como já observado,
 a relação de equivalência no lado direito dos princípios de abstração divide o domínio das entidades relevantes em classes de equivalência.
 Como na 
\series bold
Lei Básica V
\series default
,
 as entidades relevantes do 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
 são conceitos de primeira ordem.
 Considere o domínio dos conceitos de primeira ordem como sendo o conjunto de subconjuntos de objetos (visão extensional).
 Assim se o domínio dos objetos (finito ou infinito) tiver cardinalidade 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

,
 então o domínio dos conceitos de primeira ordem terá cardinalidade 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$2^n>n$
\end_layout

\end_inset

.
 Porém,
 diferente da 
\series bold
Lei Básica V
\series default
,
 a relação de equinumerosidade divide o domínio dos conceitos de primeira ordem em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n+1$
\end_layout

\end_inset

 classes de equivalência.
 Exemplificaremos:
 seja o domínio dos objetos D = {1,2,3},
 portanto o domínio dos conceitos é
\series bold
 D
\series default
 = {Ø,
 {1},
 {2},
 {3},
 {1,2},
 {1,3},{2,3},
 {1,2,3}}.
 Contudo,
 as classes de equivalência formadas pela relação de equinumerosidade serão 
\series bold
CD
\series default
={[Ø],
 [{1} ,{2},
 {3}],
 [{1,2},
 {1,3},
 {2,3}],
 [{1,2,3}]}.
 Logo,
 o 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
 será falso em domínios finitos de objetos,
 mas será verdadeiro em domínios infinitos de objetos.
\end_layout

\end_inset

.
 Assim a questão central da presente dissertação é analisar e discutir os principais argumentos que Wright oferece para mostrar que o 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
 é analítico,
 bem como apresentar e discutir as principais objeções que alguns filósofos (por exemplo,
 Boolos,
 Dummett,
 Shapiro e Weir) levantaram em relação à analiticidade do 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
.
 Em 
\series bold
2
\series default
,
 apresentaremos alguns elementos centrais da filosofia da matemática de Frege que serão necessários para uma comparação com as ideias propostas por Wright.
 Em 
\series bold
3
\series default
,
 discutiremos a proposta de logicismo defendida por Crispin Wright em 1983.
 E,
 por fim,
 
\series bold
4
\series default
 tratará de algumas objeções levantadas por Boolos,
 Dummett,
 Shapiro,
 Weir,
 entre outros,
 ao projeto logicista e das respostas de Wright a estas objeções.
\end_layout

\begin_layout Verbatim

\end_layout

\begin_layout Chapter
A Filosofia da Matemática de Frege
\end_layout

\begin_layout Standard
O objetivo deste capítulo é descrever e discutir alguns pontos da filosofia da matemática de Frege,
 bem como apresentar alguns resultados matemáticos desenvolvidos na terceira parte de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
 (1879) e nas §§46-83 de 
\shape italic
Die Grundlagen der Arithmetik
\shape default
.
\end_layout

\begin_layout Section
Logicismo
\end_layout

\begin_layout Standard
\paragraph_spacing onehalf
Entre inúmeras tendências de pensamento na matemática no século XIX,
 uma das principais foi o movimento fundacionalista
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
O movimento fundacionalista,
 como entendemos,
 foi a tentativa,
 por parte dos matemáticos,
 de fornecer os fundamentos mais seguros e racionais para sua ciência.
\end_layout

\end_inset

.
 Muitos foram os matemáticos que exigiam um maior rigor nas definições de conceitos matemáticos e nas provas de teoremas.
 O movimento marcou também o rompimento entre a geometria e a aritmética.
 As definições de conceitos aritméticos tinham de ser explicados por meio de outros conceitos aritméticos mais básicos.
 Segundo alguns comentadores,
 por exemplo,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline{Demopoulos1995b}
\backslash
nocite{Demopoulos1995a}
\end_layout

\end_inset

,
 a rigorização da matemática e o rompimento entre geometria e aritmética
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Por aritmética aqui,
 entendemos a aritmética dos números naturais e análise real.
 Quando nos referirmos apenas à aritmética dos números naturais,
 designaremos da seguinte forma:
 aritmética dos números naturais.
\end_layout

\end_inset

 assinalavam uma transformação nas ideias dos matemáticos,
 a saber,
 que a aritmética formava uma ciência independente.
 Ou seja,
 se a aritmética dependesse da geometria para explicar seus conceitos,
 então a aritmética dependeria dos conceitos de tempo e espaço
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Uma outra razão para o rigor era garantir a consistência e coerência da análise.
\end_layout

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Quote
Neste aspecto [o combate à incursão da intuição Kantiana],
 as motivações intelectuais de Frege refletem as dos analistas do século XIX que buscavam livrar o cálculo e a teoria dos reais de qualquer dependência da geometria e cinemática.
 Assim,
 já em 1817 Bolzano escreveu:
 ‘os conceitos de tempo e movimento são tão estranhos à matemática geral quanto o conceito de espaço’.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 76]{Demopoulos1995b}
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Todas as traduções são minhas,
 exceto aquelas indicadas.
 No caso da tradução do alemão (Dedekind,
 Frege),
 o número que ocorre entre parênteses,
 se ocorrer,
 é a paginação da tradução inglesa.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\paragraph_spacing onehalf
A posição de Demopoulos parece ser bastante plausível,
 principalmente quando Dedekind escreve:
\end_layout

\begin_layout Quote
É dito frequentemente que o cálculo diferencial se ocupa com grandezas contínuas,
 todavia uma explicação desta continuidade não é dada em nenhum lugar e mesmo a exposição mais rigorosa do cálculo diferencial não fundamenta suas provas na continuidade,
 mas sim as provas ou apelam,
 com mais ou menos consciência,
 às noções geométricas ou às noções sugeridas pela geometria,
 ou se baseiam em teoremas que nunca são provados de uma maneira puramente aritmética.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 316 (2)]{Dedekind1969}
\backslash
nocite{Dedekind1963}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\paragraph_spacing onehalf
Em uma outra passagem bastante sugestiva,
 Dedekind escreve:
\end_layout

\begin_layout Quote
Quando eu afirmo que a aritmética (álgebra,
 análise) é uma parte da lógica,
 eu quero dizer que eu considero o conceito de número totalmente independente das ideias ou das intuições do espaço e do tempo;
 que eu o considero,
 ao contrário,
 um resultado imediato das leis do pensamento [
\emph on
reinen Denkengesetze
\emph default
].
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 335 (31)]{Dedekind1969}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\paragraph_spacing onehalf
As duas citações acima parecem corroborar a interpretação de Demopoulos.
 Uma questão interessante é a seguinte:
 por que muitos matemáticos do século XIX defenderam que noções ou conceitos aritméticos não poderiam depender de ideias ou intuições de espaço e tempo?
 É difícil dar uma resposta geral para esta questão,
 mas uma das possíveis respostas talvez seria que a aritmética trata de “objetos” que não são intuitivos,
 que os conceitos aritméticos são abstratos.
 Frege (1874),
 por exemplo,
 escreve:
\end_layout

\begin_layout Quote
Se mostrarmos a um iniciante como somar ângulos,
 então ele sabe o que são ângulos.
 E está claro também que um conceito tão compreensivo e abstrato como o conceito de quantidade não pode ser uma intuição.
 De acordo com isto,
 existe uma diferença notável entre a geometria e a aritmética na maneira pela qual elas estabelecem seus princípios [
\emph on
Grundsätze
\emph default
].
 Os elementos de todas as construções geométricas são intuições e a geometria se refere à intuição como a origem de seus axiomas [
\emph on
Axiome
\emph default
].
 Uma vez que o ‘objeto’ [
\emph on
Objekt
\emph default
] da aritmética não tem um caráter intuitivo,
 então seus princípios não podem ser originados da intuição.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 50(56-7)]{Frege1990}
\backslash
nocite{Frege1984}
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout

\shape italic
Grundsätze
\shape default
 pode ser também traduzido por 
\shape italic
axiomas
\shape default
.
 Porém,
 na mesma citação há a palavra 
\shape italic
Axiome
\shape default
,
 então,
 por isso,
 escolhemos traduzir a palavra 
\shape italic
Grundsätze
\shape default
 por 
\shape italic
princípios
\shape default
.
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
As aspas são minhas.
 
\shape italic
Objekt
\shape default
 tem de ser entendido não como objeto no seu sentido ordinário,
 isto é,
 da forma como entendemos que o livro em cima da minha mesa é um objeto,
 mas sim no sentido de objeto de estudo de uma determinada ciência.
 E nem sempre o objeto de estudo de uma ciência é um objeto no sentido ordinário.
 Um exemplo,
 dado até por Frege,
 é que os objetos de estudo da lógica são conceitos e as relações entre os conceitos,
 mas como Frege defende em vários lugares,
 os conceitos são de natureza distinta dos objetos (
\shape italic
Gegenstand
\shape default
) no seu sentido ordinário.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para Frege,
 então,
 a aritmética é totalmente independente da intuição.
 Em particular,
 e como a passagem acima aponta,
 ele está defendendo uma diferença e,
 portanto,
 um rompimento entre a aritmética e a geometria
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Demopoulos,
 em um outro lugar,
 escreve:
 “Uma visão da filosofia da aritmética de Frege que ganhou uma ampla aceitação é aquela que marca a culminação do processo de tornar rigoroso o cálculo e a teoria dos números reais;
 colocando brevemente,
 Frege buscou fazer para a aritmética o que Cauchy,
 Bolzano e outros fizeram para a análise:
 a saber,
 assegurar–lhe um ‘fundamento rigoroso’.
 Mas mesmo que o interesse no rigor seja uma clara explicação,
 isto nos diz quase nada.
 Na minha visão,
 a preocupação de Frege com o rigor,
 como a de Dedekind e outros matemáticos do período,
 estava intimamente ligada à sua rejeição da intuição no raciocínio aritmético” 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 481]{Demopoulos1998}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como afirmamos acima,
 os matemáticos que tinham uma postura fundacionalista tentaram definir conceitos aritméticos por meio de outros conceitos aritméticos mais básicos.
 Um exemplo clássico foi a tentativa de Cauchy definir os números reais em termos de uma sequência de números racionais.
 Estes,
 por sua vez,
 podem ser definidos como sendo pares (ordenados) de números inteiros;
 e os números inteiros,
 como sendo pares (ordenados) de números naturais
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Os números complexos podem ser definidos como pares de números reais.
\end_layout

\end_inset

.
 O movimento fundacionalista tinha,
 portanto,
 um aspecto reducionista,
 ou seja,
 entidades aritméticas de um certo tipo (por exemplo,
 os números reais) eram definidas por meio de ou reduzidas a entidades aritméticas de um outro tipo mais básico (no caso,
 os números racionais).
 Assim,
 seguindo a linha de raciocínio acima,
 toda a aritmética poderia ser definida por meio dos (ou reduzida aos) números naturais.
 Portanto,
 defender que a aritmética é independente de intuições (em particular,
 das intuições de tempo e espaço) é defender que nosso conhecimento da aritmética dos números naturais não é dependente de intuições (em particular,
 das intuições de tempo e espaço).
\end_layout

\begin_layout Standard
\paragraph_spacing onehalf
O problema é que Kant defendeu na 
\shape italic
Crítica da Razão Pura
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
nocite{Kant1997}
\end_layout

\end_inset


\shape default
 que equações aritméticas simples,
 como 5+7=12,
 dependem da intuição (no caso,
 uma intuição pura,
 uma vez que Kant sustenta que os juízos da aritmética são sintéticos 
\emph on
a priori
\emph default
) para serem provadas.
\end_layout

\begin_layout Quote
À primeira vista poder-se-ia,
 sem dúvida,
 pensar que a proposição 7+5=12 é uma proposição simplesmente analítica,
 resultante,
 em virtude do princípio de contradição,
 do conceito da soma de sete e de cinco.
 Porém,
 quando se observa de mais perto,
 verifica-se que o conceito da soma de sete e de cinco nada mais contém do que a reunião dos dois números em um só,
 pelo que,
 de modo algum,
 é pensado qual é esse número único que reúne os dois.
 O conceito de doze de modo algum ficou pensado pelo simples facto de se ter concebido essa reunião de sete e de cinco e,
 por mais que analise o conceito que possuo de uma tal soma possível,
 não encontrarei nele o número doze.
 Temos de superar estes conceitos,
 procurando a ajuda da intuição que corresponde a um deles,
 por exemplo,
 os cinco dedos da mão ou (como Segner na sua aritmética) cinco pontos,
 e assim acrescentar,
 uma a uma,
 ao conceito de sete,
 as unidades do número cinco dadas na intuição.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[B15]{Kant1997}
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
A tradução é da edição da Fundação Calouste Gulbenkian.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Um representante do movimento fundacionalista poderia responder o seguinte:
 Kant está errado em sustentar que a aritmética dos números naturais depende da intuição e,
 neste caso,
 ter-se-ia de dar uma explicação de como conhecemos as proposições da aritmética dos números naturais (por exemplo,
 5+7=12) sem apelar à intuição;
 ou tentar-se-ia reduzir a aritmética dos números naturais a algo mais básico que não apele explícita ou implicitamente à intuição e,
 neste caso,
 afirmar-se-ia que Kant está errado.
 Note que as duas posições,
 apesar de serem bastante parecidas,
 não são equivalentes.
 A primeira posição tenta explicar que conceitos da aritmética dos números naturais (por exemplo,
 os conceitos de número natural,
 de zero,
 de sucessor etc.) não dependem da intuição e a explicação de tal fato se daria dentro da própria teoria.
 A segunda irá mostrar que os conceitos da aritmética dos números naturais podem ser definidos por (ou reduzidos a) conceitos mais básicos que não dependem da intuição.
 Frege opta pela segunda posição,
 ou seja,
 ele sustentará que os conceitos da aritmética dos números naturais podem ser definidos por (ou reduzidos a) outros conceitos mais básicos.
 É claro que a primeira posição permanece em aberto,
 porém não a discutiremos aqui.
\end_layout

\begin_layout Standard
Mas,
 os conceitos da aritmética dos números naturais deveriam ser definidos por (ou reduzidos a) quais conceitos mais básicos?
 Frege irá sugerir uma redução da aritmética à lógica.
 Mas,
 por que a lógica?
 Primeiro,
 porque a lógica é analítica,
 pelo menos assim defendera Kant
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Na verdade,
 existem várias noções de lógica em Kant.
 Por exemplo,
 a lógica pura,
 a lógica transcendental,
 a lógica aplicada.
 Dentre estas,
 somente a lógica pura é considerada analítica por Kant.
 Cf.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline[A55/B79;
 A61/B86;
 A598/B626]{Kant1997}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
 Uma vez que a lógica é analítica,
 então ela não dependeria da intuição
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Se um juízo depende da intuição,
 então,
 segundo Kant,
 este juízo é sintético.
\end_layout

\end_inset

.
 Se a redução da aritmética à lógica for bem-sucedida,
 então a aritmética seria analítica e,
 portanto,
 não dependeria da intuição
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Isto também explica a recusa de Frege de elementos psicológicos na lógica e na matemática.
 Se a lógica dependesse da psicologia,
 sua tentativa de mostrar que a aritmética é independente da intuição fracassaria.
\end_layout

\end_inset

.
 Além disso,
 Frege afirma que a aritmética se aplica a tudo que é pensável,
 seu escopo de aplicação é equivalente ao escopo da lógica e isto seria uma forte evidência de que a aritmética é uma lógica desenvolvida
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
“A base da aritmética é mais profunda,
 parece,
 do que a de qualquer ciência empírica e,
 até mesmo,
 a da geometria.
 As verdades da aritmética governam tudo que é numerável.
 Este é o mais amplo dos domínios;
 pois a ele pertence não somente o que é real,
 não somente o que é intuitivo,
 mas tudo que é pensável.
 As leis dos números não deveriam então estar conectadas intimamente com as leis do pensamento?” 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[
\backslash
S 14]{Frege1988}
\backslash
nocite{Frege1986}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
 Assim,
 o logicismo de Frege,
 a saber,
 que a aritmética dos números naturais tem de ser reduzida à lógica,
 é uma espécie de corolário da ideia de que a aritmética não depende da intuição e do aspecto reducionista do movimento fundacionalista.
\end_layout

\begin_layout Section
O 
\shape italic
analítico
\shape default
,
 o 
\shape italic
sintético
\shape default
,
 o 
\shape italic
a prior
\shape default
i,
 o 
\shape italic
a posteriori
\end_layout

\begin_layout Standard
Como afirmamos na seção 2.1,
 o logicismo de Frege é uma espécie de corolário de duas doutrinas em voga no movimento fundacionalista na matemática do século XIX —
 a independência da aritmética de qualquer espécie de intuição e a tendência reducionista.
 Frege tem de fundamentar os conceitos da aritmética na lógica,
 uma vez que a lógica é analítica e,
 consequentemente,
 não é sintética e assim não dependeria da intuição.
 Frege tem de analisar,
 então,
 os conceitos de
\shape italic
 analítico
\shape default
 e 
\shape italic
sintético
\shape default
.
 Entretanto,
 Frege também tem de considerar os conceitos de 
\shape italic
a priori
\shape default
 e 
\shape italic
a posteriori
\shape default
 que são conceitos que estão intimamente relacionados aos de 
\shape italic
analítico
\shape default
 e 
\shape italic
sintético
\shape default

\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
“Se levarmos a diante a oposição de analítico e sintético,
 obteríamos quatro combinações uma das quais,
 a saber,
 analítico 
\shape italic
a posteriori
\shape default
 não ocorre.
 Se decidirmos,
 como Mill,
 em favor do 
\shape italic
a posteriori
\shape default
 não resta nenhuma escolha,
 de maneira que,
 para nós,
 somente as possibilidades sintético 
\shape italic
a priori
\shape default
 e analítico faltam ser consideradas” 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[
\backslash
S 12]{Frege1988}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
O trabalho de Frege de 1874 não tem nenhuma referência ao conceito de analítico,
 nem referências a Kant.
 Lá,
 ele apenas afirma que o conceito principal da aritmética —
 o de quantidade —
 não é intuitivo e que toda a aritmética é derivada deste conceito
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
"Se,
 como mostramos,
 não encontramos o conceito de quantidade na intuição,
 mas criamo-lo por nós mesmos,
 então estamos justificados em tentar formular sua definição para permitir tantas vezes quanto possível uma aplicação,
 a fim de estender o domínio ao qual está sujeita a aritmética" 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 51(57)]{Frege1990}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
 É claro que se a aritmética é derivada conceitualmente,
 então esta ciência seria,
 para Kant,
 analítica
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Segundo Kant,
 um juízo é analítico se ele é um juízo discursivo,
 ou seja,
 um juízo cuja verdade depende apenas dos conceitos do sujeito e do predicado.
\end_layout

\end_inset

.
 É difícil afirmar se Frege tinha isto em mente no seu trabalho de 1874,
 contudo,
 cinco anos depois,
 na 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
,
 há uma evidência que Frege considera a posição de Kant em relação aos conceitos de analítico e sintético.
\end_layout

\begin_layout Standard
No prefácio de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
,
 Frege afirma que há duas formas de se estabelecer a verdade de uma proposição,
 a saber:
 a) ou perguntando por qual caminho a proposição em questão foi estabelecida;
 b) ou de que maneira a mesma pode ser mais firmemente estabelecida.
 A primeira,
 como ele mesmo afirma,
 pode ser respondida diferentemente por diferentes pessoas,
 pois a verdade é estabelecida a partir da gênese do conhecimento da proposição.
 A segunda é mais definitiva,
 pois a verdade é estabelecida a partir da natureza interna da proposição.
 Em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
,
 a preocupação de Frege é tão somente com a segunda forma de se estabelecer a verdade.
 Em outras palavras,
 Frege se preocupou em apresentar a prova ou justificação do conhecimento da verdade de uma proposição.
 E Frege apresenta a seguinte classificação das proposições:
\end_layout

\begin_layout Quote
O método mais rigoroso de prova é obviamente o puramente lógico que,
 desconsiderando as características particulares das coisas,
 é baseado somente em leis sobre as quais todo conhecimento é fundamentado.
 De acordo com o que fora afirmado acima,
 nós dividimos todas as verdades que requeiram uma prova em dois tipos:
 a prova do primeiro tipo é executada puramente por lógica,
 enquanto a do segundo tem de ser apoiada em fatos empíricos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[Prefácio]{Frege1998a}
\backslash
nocite{Frege1972}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
A passagem acima parece sugerir uma divisão entre proposições analíticas e sintéticas.
 As proposições provadas de maneira puramente lógica seriam analíticas e,
 caso contrário,
 as proposições seriam sintéticas.
 Mas,
 aqui há um problema:
 a definição de Frege não dá conta de juízos sintéticos 
\shape italic
a priori
\shape default
.
 Estes juízos não são provados por lógica pura,
 tampouco precisam de fatos empíricos para apoiar suas provas.
 O problema surge porque,
 nos 
\shape italic
Fundamentos da Aritmética
\shape default
,
 Frege defendeu,
 como Kant,
 o caráter sintético 
\shape italic
a priori
\shape default
 da geometria.
 Poderíamos,
 é claro,
 dizer que somente depois de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
,
 Frege considerou a geometria sintética 
\shape italic
a priori
\shape default
 e,
 portanto,
 quando Frege fala de intuição nos seus primeiros trabalhos,
 ele tinha em mente uma intuição empírica
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Há outra passagem na qual Frege fala de intuição na geometria antes de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
:
 “Se consideramos que toda geometria depende,
 em última análise,
 de axiomas que derivam sua validade da natureza de nossas faculdades intuitivas,
 então parece justificado questionar o sentido de formas imaginárias,
 uma vez que lhe atribuímos propriedades que frequentemente contradizem toda nossa intuição” 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 1(3)]{Frege1990}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
 Entretanto,
 não há nenhuma evidência explícita de tal fato.
\end_layout

\begin_layout Standard
A citação acima também poderia sugerir uma distinção entre 
\shape italic
a priori
\shape default
 e 
\shape italic
a posteriori
\shape default
,
 isto é,
 uma proposição é 
\shape italic
a priori
\shape default
 quando provada apenas por leis lógicas;
 caso contrário,
 a proposição é 
\shape italic
a posteriori
\shape default
.
 Todavia,
 essa divisão não oferece novamente uma explicação de proposições 
\shape italic
sintéticas a priori
\shape default
,
 pois,
 repetimos,
 uma tal proposição não é provada por meios puramente lógicos,
 tampouco se baseia em fatos empíricos.
 Mas,
 pelo menos,
 uma coisa é evidente em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
:
 proposições (ou juízos) analíticas não dependem da intuição
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Cf.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline[
\backslash
S 23]{Frege1998a}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege não é muito claro,
 em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
,
 sobre os conceitos de
\shape italic
 analítico
\shape default
,
 
\shape italic
sintético
\shape default
,
 
\shape italic
a priori
\shape default
 e 
\shape italic
a posteriori
\shape default
.
 A passagem indicada acima apresenta algumas dificuldades interpretativas.
 Contudo,
 em 
\shape italic
\lang ngerman
Die Grundlagen der Arithmetik
\shape default
\lang brazilian
,
 Frege apresentará uma distinção mais elaborada entre estes conceitos.
 Aqui,
 poderíamos conjeturar duas hipóteses:
 (1) ou Frege já aceitava a posição de Kant sobre a geometria nos seus primeiros trabalhos e,
 portanto,
 ele percebeu que sua definição em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
 não era exaustiva;
 (2) ou Frege passou a aceitar a posição de Kant depois da 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
 e,
 portanto,
 uma nova distinção entre estes conceitos era necessária,
 uma vez que a anterior (dada em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
) não era exaustiva.
\end_layout

\begin_layout Standard
É importante dizer que a distinção entre estes conceitos em 
\shape italic
\lang ngerman
Die Grundlagen der Arithmetik
\shape default
\lang brazilian
,
 como em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
,
 é uma distinção sobre a justificativa (ou prova) da proposição
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
“Estas distinções de a priori,
 a posteriori,
 sintético e analítico,
 na minha concepção,
 não dizem respeito ao conteúdo dos juízos,
 mas a justificação para se fazer um juízo” 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[
\backslash
S 3]{Frege1988}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
O objetivo de Frege é mostrar que a distinção entre 
\shape italic
analítico
\shape default
,
 
\shape italic
sintético
\shape default
,
 
\shape italic
a priori
\shape default
 e 
\shape italic
a posteriori
\shape default
 não é uma distinção subjetiva,
 como seria o caso se estes conceitos dependessem do conteúdo das proposições,
 ou melhor,
 da maneira pela qual apreendemos estes conteúdos.
\end_layout

\end_inset

.
 Segundo 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline[
\backslash
S 3]{Frege1988}
\end_layout

\end_inset

,
 uma proposição é analítica se a sua justificação (ou prova) depende apenas de leis lógicas e definições (também lógicas).
 Uma verdade é sintética se a sua justificação depende de alguma lei que não tem caráter lógico (poderíamos chamar tal lei de postulado).
 A verdade de uma proposição é 
\shape italic
a priori
\shape default
,
 se na sua justificação nenhum apelo é feito a fatos particulares,
 se sua justificação depende apenas de leis gerais que nem admitem nem necessitam de uma prova.
 Caso contrário,
 se a justificação de uma proposição depende de um fato particular,
 então a verdade de uma tal proposição é 
\shape italic
a posteriori
\shape default
.
 Note que agora Frege está em posição de defender o caráter sintético 
\shape italic
a priori
\shape default
 da geometria,
 uma vez que esta ciência depende dos postulados,
 que não são leis lógicas,
 para executar suas provas —
 neste caso,
 a geometria é sintética —
,
 mas os postulados são leis gerais que não admitem nem precisam de prova —
 neste caso,
 a geometria é 
\shape italic
a priori
\shape default
.
 Há ainda uma série de questões sobre estas distinções de Frege,
 mas infelizmente não trataremos delas aqui
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
O leitor interessado pode ler 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline{Dummett1991}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
As distinções apresentadas por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline{Frege1988}
\end_layout

\end_inset

 serão úteis mais tarde quando discutirmos a proposta de Wright.
 Adiantando,
 Wright irá propor a adição do 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
 à lógica de segunda ordem,
 e reivindicará o logicismo da aritmética,
 uma vez que a teoria resultante mais definições Fregeanas de 
\series bold
Zero
\series default
,
 
\series bold
Sucessor
\series default
 e 
\series bold
Número Natural
\series default
 provam os axiomas da aritmética de segunda ordem.
 Porém,
 o 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
,
 como iremos ver,
 não é nem uma definição,
 nem uma lei lógica,
 portanto a teoria resultante não seria analítica segundo as distinções acima.
 Na verdade,
 poderíamos reivindicar que a aritmética é sintética 
\series bold
a priori
\series default
,
 uma vez que ela depende de uma lei geral (o 
\series bold
Princípio de Hume
\series default
) que não admite prova (é claro,
 estamos levando em conta a definição de Frege de sintético 
\shape italic
a priori
\shape default
).
 Wright terá de modificar a concepção de 
\shape italic
analítico
\shape default
,
 se ele deseja mostrar que a aritmética é analítica.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
A conceitografia
\end_layout

\begin_layout Standard
Como observamos acima,
 Frege defendeu a ideia de que a aritmética não depende da intuição (em particular,
 da intuição pura).
 Além disso,
 Frege sustentou (pelo menos até 1903) que a aritmética é redutível à lógica (uma espécie de corolário).
 Esta última tese implica então que os conceitos da aritmética devem ser definidos por meios puramente lógicos e que seus teoremas são provados a partir de leis da lógica e definições aritméticas (lógicas).
\end_layout

\begin_layout Standard
No entanto,
 para executar esta tarefa,
 Frege necessitava de uma notação ou de uma linguagem capaz de expressar as relações dos elementos que participam da justificação da verdade de uma proposição de forma não ambígua.
 Tal linguagem tinha de ser suficientemente clara,
 para que,
 na cadeia de dedução,
 nada de estranho à prova pudesse entrar despercebido.
 Esta linguagem não poderia ser a linguagem ordinária,
 pois ela é,
 segundo Frege,
 ambígua e inadequada
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Considere,
 por exemplo,
 a palavra “ou” nas seguintes sentenças:
 “eu vou ao cinema ou eu vou ao teatro” e “o livro está na mesa ou a caneta está na cadeira”.
 Na primeira sentença,
 “ou” está sendo usado no sentido exclusivo,
 isto é,
 se a sentença for verdadeira,
 então uma das subsentenças é verdadeira,
 mas não é o caso de ambas serem verdadeiras.
 Na segunda sentença,
 “ou” é inclusivo,
 ou seja,
 se a sentença for verdadeira,
 então uma das subsentenças é verdadeira;
 ou ambas subsentenças são verdadeiras.
\end_layout

\end_inset

,
 e não serve para estabelecer uma dedução totalmente livre de lacunas.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vale a pena dizer que Frege não defende a superioridade de uma linguagem artificial sobre a linguagem natural.
 De acordo com sua visão,
 a linguagem artificial,
 livre de ambiguidade,
 é superior à linguagem natural quando aquela é utilizada para propósitos científicos.
 A ciência necessita de uma linguagem na qual seus termos não variem de significado de acordo com o contexto,
 ou seja,
 a linguagem deve manter-se rígida.
 Todavia,
 se o objetivo é a arte,
 por exemplo,
 uma comédia,
 é essencial uma linguagem que seja ambígua e que favoreça o duplo sentido.
 Neste caso,
 a linguagem natural é superior à linguagem artificial.
\end_layout

\begin_layout Standard
Essa língua artificial (denominada de “conceitografia”) é,
 como o próprio Frege reconhece,
 inspirada na 
\shape italic
Característica Universal
\shape default
 de Leibniz.
 No entanto,
 Frege acredita que Leibniz superestimou as vantagens de um tal método de notação.
 Isto porque,
 na visão Leibniziana,
 a 
\shape italic
Característica Universal
\shape default
 seria um instrumento capaz de expressar todos os pensamentos humanos,
 independentemente da área.
 Ela seria capaz de expressar pensamentos tanto da aritmética quanto da moral,
 tanto da ciência quanto da metafísica.
 Frege pretende aplicar sua notação conceitual apenas à aritmética
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
“A aritmética,
 como disse no início,
 foi o ponto de partida da cadeia de pensamento que me levou à notação conceitual.
 Portanto,
 eu pretendo aplicá-la primeiro a esta ciência,
 tentando analisar seus conceitos e fornecer um profundo fundamento para seus teoremas” 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[Prefácio]{Frege1998a}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vale então lembrar alguns dos aspectos defendidos por Leibniz sobre a 
\shape italic
Característica Universal
\shape default
.
 Esta linguagem teria duas faces:
 por um lado,
 ela funcionaria como um 
\shape italic
cálculo rationator
\shape default
,
 isto é,
 a partir de um determinado conjunto de definições e axiomas (que expressariam os conceitos mais simples) seria possível chegar às noções mais complexas (ou conceitos mais complexos).
 Por outro lado,
 ela funcionaria como uma 
\shape italic
língua filosófica
\shape default
 capaz de expressar os pensamentos humanos e suas interrelações mais apuradamente e sem ambiguidades.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ora,
 uma tese subjacente à 
\shape italic
Característica Universal
\shape default
 é que os sinais são indispensáveis (sinais aqui podem ser entendidos por palavras,
 figuras,
 numerais,
 diagramas etc.),
 porque é através deles que comunicamos (de maneira objetiva) nossos pensamentos (ou ideias,
 na terminologia de Leibniz).
 Tais sinais não são marcas convencionais,
 como Locke defendera em 
\shape italic
An Essay concerning Human Understanding
\shape default

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
nocite{Locke1975}
\end_layout

\end_inset

,
 de ideias subjetivas de um "falante",
 mas sim marcas de ideias objetivas que todos os animais racionais (ou "falantes") são capazes de entender (se estiverem bastante familiarizados com elas).
\end_layout

\begin_layout Standard
Podemos,
 então,
 expressar resumidamente,
 como 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline{Rutherford1995}
\end_layout

\end_inset

 sustenta,
 os três pontos centrais da 
\emph on
Característica Universal
\emph default
,
 a saber:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
apresentar os conceitos primitivos (ou básicos) a partir dos quais os demais (os mais complexos) são obtidos;
\end_layout

\begin_layout Enumerate
imaginar sinais adequados para representar cada um desses conceitos primitivos;
\end_layout

\begin_layout Enumerate
e formular uma regra para combinação destes sinais.
\end_layout

\begin_layout Standard
Exemplificando a ideia de Leibniz,
 considere o conceito 
\shape italic
ser humano
\shape default
.
 Seguindo a própria análise Leibniziana,
 podemos desmembrar tal conceito em partes mais primitivas,
 a saber,
 
\shape italic
ser animal
\shape default
 e 
\shape italic
ser racional
\shape default
.
 Assim,
 o conceito 
\shape italic
ser humano
\shape default
 é um conceito complexo e 
\shape italic
ser animal
\shape default
 e 
\shape italic
ser raciona
\shape default
l,
 conceitos mais básicos.
 Estipulando então que estes últimos não podem ser desmembrados em conceitos mais simples,
 basta-nos então por (2) estipular algum sinal adequado para tais conceitos.
 Sejam 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A(x)$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R(x)$
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Supondo que esses símbolos são sinais adequados.
\end_layout

\end_inset

 os símbolos para 
\shape italic
ser animal
\shape default
 e para 
\shape italic
ser racional
\shape default
,
 respectivamente.
 Falta,
 então,
 estipular alguma regra para combinar os sinais de tal forma que,
 por esta combinação,
 seja expresso o conceito requerido (isto é,
 
\shape italic
ser humano
\shape default
).
 Um bom candidato para esta regra pode ser a conjunção lógica que será representada pelo sinal de multiplicação (.).
 Temos assim que 
\shape italic
ser humano
\shape default
 = 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A(x).R(x)$
\end_layout

\end_inset

 (humano é,
 por definição,
 
\shape italic
animal
\shape default
 e 
\shape italic
racional
\shape default
,
 ou 
\shape italic
animal racional
\shape default
).
 Não pretendemos entrar em muitos detalhes aqui,
 mas Leibniz,
 nos escritos entre 1678-1679
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Veja,
 por exemplo,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline{Leibniz1989}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

,
 usa como sinais adequados para representar os conceitos primitivos números primos (isto porque qualquer número integral pode ser fatorado unicamente como um múltiplo de um primo) e a multiplicação numérica como regra de combinação.
 Assumindo este modelo,
 o exemplo dado acima poderia ficar assim:
 para os conceitos 
\shape italic
ser animal
\shape default
 e 
\shape italic
ser racional
\shape default
 daríamos,
 respectivamente,
 os sinais 2 e 3 (números primos).
 Assim,
 o conceito 
\shape italic
ser humano
\shape default
 teria como sinal característico (ou como Leibniz diz,
 número característico) o número 6 (ou seja,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$2x3$
\end_layout

\end_inset

).
 Portanto,
 um conceito que tem um sinal característico 22 é um conceito que contém o conceito 
\shape italic
ser animal
\shape default
 (uma vez que o número 22 é múltiplo de 2)
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Na verdade,
 o cálculo de Leibniz é um pouco mais complicado.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Voltando a Frege,
 uma vez que ele se inspira na 
\shape italic
Característica Universal
\shape default
,
 então ele deve manter,
 de certa forma,
 os três princípios que foram apresentados acima.
 Eles são,
 para recapitular,
 1) apresentar os conceitos primitivos da sua notação;
 2) imaginar os sinais adequados para representá-los;
 e 3) formular regras para combinação dos mesmos.
 Na próxima seção,
 exporemos de maneira mais exata como Frege elabora sua notação conceitual.
\end_layout

\begin_layout Section

\series medium
\shape italic
Begriffsschrift
\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
 foi o primeiro livro escrito por Frege.
 Neste livro,
 Frege pretende executar parte de seu programa logicista,
 tentando mostrar que o conceito de 
\shape italic
ordenação-em-uma-sequência
\shape default
 pode ser reduzido ao conceito de implicação lógica
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Aqui,
 seguimos a sugestão de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline{Ruffino1998}
\end_layout

\end_inset

 e traduzimos 
\shape italic
logische Folge
\shape default
 por 
\shape italic
implicação lógica
\shape default
.
 Como veremos mais adiante,
 Frege define a noção de 
\shape italic
ordenação-em-uma-sequência
\shape default
 por meio de símbolos de implicação e quantificadores.
\end_layout

\end_inset

.
 Mas,
 Frege necessitava elaborar uma linguagem adequada para expressar os conceitos matemáticos (no caso,
 conceitos da aritmética).
 E tal linguagem foi inspirada,
 como também dissemos,
 na 
\shape italic
Característica Universal
\shape default
 de Leibniz.
 Portanto,
 Frege precisa apresentar e explicar seus conceitos primitivos,
 imaginar sinais adequados para estes conceitos e,
 enfim,
 formular regras de combinação destes sinais.
 Esta tarefa é executada na parte 1 de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
.
 O objetivo central de Frege (reduzir o conceito de 
\shape italic
ordenação-em-uma-sequência
\shape default
 ao conceito de 
\shape italic
implicação lógica
\shape default
) é realizado na parte 3 de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
.
 E na parte 2 deste livro,
 Frege apresenta as leis lógicas ou do pensamento (puro).
\end_layout

\begin_layout Subsection
Os conceitos primitivos
\end_layout

\begin_layout Standard
\paragraph_spacing onehalf
Na tentativa de analisar os conceitos da aritmética,
 Frege encontrou na linguagem natural uma fonte de imprecisão e erro.
 Ele então foi obrigado a analisar as sentenças da linguagem natural para estabelecer nelas aquilo que era essencial para uma inferência (lógica).
 Para explicar tal procedimento em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
 e responder as críticas feitas a sua notação conceitual,
 Frege escreve:
\end_layout

\begin_layout Quote
Como oposto a isto [divisão das proposições da lógica em primárias e secundárias],
 eu parto dos juízos e seus conteúdos,
 e não de conceitos.
 A relação hipotética precisamente definida entre conteúdos de juízos possíveis tem importância similar para os fundamentos de minha notação conceitual como a identidade de extensão tem para a lógica Booleana 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 17(16)]{Frege1983}
\backslash
nocite{Frege1979}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Na passagem acima,
 Frege parece assumir que o juízo é a unidade básica da linguagem.
 E intimamente ligados aos juízos estão os conteúdos conceituais
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Frege não nos diz o que é um conteúdo conceitual.
 Ele apenas nos diz quando dois conteúdos conceituais são iguais,
 a saber,
 quando eles podem ser substituídos em uma inferência preservando a dedutibilidade.
\end_layout

\end_inset

.
 É,
 portanto,
 analisando os conteúdos conceituais dos juízos que Frege obtém seus conceitos (lógicos) primitivos.
 Por exemplo,
 considere o juízo categórico 
\shape italic
Todo humano é animal
\shape default
.
 Segundo Frege,
 o conteúdo conceitual deste juízo expressa uma relação de subordinação entre estes dois conceitos.
 Isto quer dizer que 
\shape italic
para qualquer coisa se ela é humana,
 então ela é animal
\shape default
.
 Dessa forma,
 Frege chega a dois conceitos que considera como primitivos:
 a implicação entre conteúdos conceituais e a generalização universal dos conteúdos (ou quantificação universal)
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Para Frege,
 não é o juízo que é universal,
 mas o conteúdo conceitual de um juízo que é universal.
\end_layout

\end_inset

 expressos pelas palavras 
\shape italic
``se...,
 então
\shape default
'' e 
\shape italic
``para qualquer coisa
\shape default
'',
 respectivamente.
 Da mesma forma,
 podemos analisar o conteúdo conceitual expresso pelo juízo categórico 
\shape italic
Nenhum humano é imortal
\shape default
.
 Tal conteúdo expressa uma relação entre os conceitos 
\shape italic
humano
\shape default
 e 
\shape italic
imortal
\shape default
,
 a saber,
 que ambos são disjuntos.
 Isto quer dizer que 
\shape italic
para toda coisa se ela é humana,
 então ela não é imortal
\shape default
.
 Note que agora apareceu a palavra 
\shape italic
``não
\shape default
''.
 Frege também considera a negação como sendo um conceito (lógico) primitivo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Até agora,
 identificamos três conceitos primitivos que Frege reconhece em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
.
 Além desses três conceitos,
 Frege reconhece também a noção de 
\shape italic
conteúdo conceitual
\shape default
 e de
\shape italic
 juízo
\shape default
 e apresenta os símbolos que os representam.
 Na §2 de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
,
 Frege afirma que um juízo será sempre expresso na sua notação conceitual pelo seguinte sinal:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Assim,
 por exemplo,
 o sinal
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert A$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
indica que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

 é o caso
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Na verdade,
 este símbolo também indica que afirmamos que A é o caso.
\end_layout

\end_inset

 (hoje em dia,
 diríamos que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

 é verdadeiro).
 Agora,
 se for omitido o traço vertical,
 o juízo se transforma em mera combinação de ideias.
 Logo,
 o símbolo
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGcontent A$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
não expressa nenhum juízo e significa apenas,
 de acordo com Frege,
 a circunstância em que A ocorre.
 O traço vertical é denominado por Frege de 
\shape italic
traço de juízo
\shape default
;
 o traço horizontal,
 
\shape italic
o de conteúdo
\shape default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
O símbolo para a implicação entre conteúdos conceituais é apresentado na §5 de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
.
 Seguindo exemplo fregeano,
 sejam 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$B$
\end_layout

\end_inset

 conteúdos judicáveis,
 então há quatro possibilidades possíveis,
 a saber:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
A é o caso e B é o caso;
\end_layout

\begin_layout Enumerate
A é o caso e B não é o caso;
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
A não é o caso e B é o caso;
\end_layout

\begin_layout Enumerate
A não é o caso e B não é o caso.
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Segundo Frege,
 o símbolo
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{A}{B}$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
significa que a possibilidade (2) não ocorre.
 Hoje em dia,
 poderíamos traduzir o símbolo acima por 
\begin_inset Formula $A\rightarrow B$
\end_inset

.
 Note que na notação de Frege a implicação é lida de baixo para cima.
\end_layout

\begin_layout Standard
Em §7,
 é introduzido o símbolo da negação.
 Seja,
 por exemplo,
 a proposição falsa 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$2 + 2= 5$
\end_layout

\end_inset

,
 então a negação dessa proposição é verdadeira.
 Se a expressão 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$2 + 2 = 5$
\end_layout

\end_inset

 for denominada por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

,
 então,
 na notação de Frege,
 o símbolo
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert
\backslash
BGnot A$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
significa que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

 não é o caso (ou não-A é o caso).
 A negação é simbolizada pelo traço vertical no meio do traço de conteúdo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Na §11,
 Frege introduz a notação para a quantificação universal.
 Ele escreve:
\end_layout

\begin_layout Quote
Na expressão de um juízo,
 podemos sempre considerar a combinação de símbolos à direita de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert$
\end_layout

\end_inset

 como uma função de um dos símbolos que ocorre nela.
 Se substituirmos este argumento por uma letra germânica e introduzirmos no conteúdo uma concavidade contendo a mesma letra germânica,
 como em
\end_layout

\begin_layout Quote
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert
\backslash
BGall a
\backslash
Phi(
\backslash
mathfrak{a})$
\end_layout

\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Quote
então isto significa o juízo que a função é um fato para tudo que possamos tomar como seu argumento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[
\backslash
S 11]{Frege1998a}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Na notação lógica atual,
 o símbolo acima é expresso por 
\begin_inset Formula $\forall xF(x)$
\end_inset

.
 Na passagem supracitada,
 Frege diz que o símbolo à direita do símbolo de juízo pode ser considerado como uma função de um dos símbolos que ocorre nele.
 Chegamos a dois outros conceitos que Frege considera como sendo primitivos:
 os conceitos de 
\shape italic
função
\shape default
 e 
\shape italic
argumento
\shape default
.
 Frege estipula estes conceitos como primitivos novamente analisando os conteúdos conceituais dos juízos.
 Seja,
 por exemplo,
 o conteúdo conceitual do juízo
\shape italic
 Platão é mortal
\shape default
.
 Este conteúdo é analisado por Frege como expressando que um determinado 
\shape italic
argumento
\shape default
 (
\shape italic
Platão
\shape default
) cai sob uma determinada 
\shape italic
função
\shape default
 (
\shape italic
ser mortal
\shape default
).
 Não é necessário que o argumento seja 
\shape italic
Platão
\shape default
 e a função seja 
\shape italic
ser mortal
\shape default
 no juízo em questão.
 Poderíamos analisar tal juízo da seguinte forma:
 o argumento sendo 
\shape italic
ser mortal
\shape default
 e a função,
 
\begin_inset Formula $\Phi$
\end_inset

-
\emph on
Platão
\emph default
 (
\shape italic
ser instanciado por 
\shape default
\emph on
Platão
\emph default
)
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
No caso,
 
\begin_inset Formula $\Phi$
\end_inset


\shape italic
-Platão
\shape default
 é uma função de segunda ordem sob a qual cai uma função de primeira ordem (no caso acima,
 
\shape italic
ser mortal
\shape default
).
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Outros juízos mais complexos podem ser analisados também dessa maneira.
 Por exemplo,
 
\emph on
Platão foi discípulo de Sócrates
\emph default
 pode ser analisado,
 segundo Frege,
 como se segue:
 
\shape italic
Platão
\emph on
 
\shape default
\emph default
(argumento) e 
\shape italic
ser discípulo de Sócrates
\shape default
 (função);
 
\shape italic
Sócrates
\shape default
 (argumento) e 
\shape italic
ser mestre de Platão
\shape default
 (função)
\emph on
;
 Platão
\emph default
,
 
\emph on
Sócrates
\emph default

\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Aqui,
 é claro,
 temos um par ordenado 
\begin_inset Formula $<Platão,Sócrates>$
\end_inset

.
 Note que o par inverso não satisfaz a função 
\shape italic
ser discípulo de
\shape default
.
\end_layout

\end_inset

 (argumentos) e 
\shape italic
ser discípulo de
\shape default
 (função)
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Frege também denomina funções binárias de relações.
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Novamente,
 poderíamos analisar a mesma sentença como expressando que uma determinada relação (
\shape italic
ser discípulo de
\shape default
) cai sob a função de segunda ordem 
\emph on
Platão
\emph default
-
\begin_inset Formula $\Psi$
\end_inset


\shape italic
-Sócrates
\shape default
.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Na §10,
 Frege introduz os símbolos para argumento e função.
 O argumento será designado por letras maiúsculas latinas (
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A,B,C,...$
\end_layout

\end_inset

);
 a função,
 pelas letras gregas (
\begin_inset Formula $\Phi,\Psi,...$
\end_inset

).
 Assim,
 
\begin_inset Formula $\Phi(A)$
\end_inset

 expressa,
 segundo Frege,
 “uma função indeterminada de argumento A”.
 No caso de uma relação,
 o símbolo introduzido por Frege é 
\begin_inset Formula $\Psi(A,B)$
\end_inset

.
 Se adicionarmos o símbolo de juízo a 
\begin_inset Formula $\Phi(A)$
\end_inset

,
 ou seja,
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\BGassert\Phi(A)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
isto significa que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

 tem a propriedade 
\begin_inset Formula $\Phi$
\end_inset

.
 No caso de uma relação 
\begin_inset Formula $\Psi(A,B)$
\end_inset

,
 o símbolo
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\BGassert\Psi(A,B)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
significa que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$B$
\end_layout

\end_inset

 se encontra na relação 
\begin_inset Formula $\Psi$
\end_inset

 com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

,
 ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$B$
\end_layout

\end_inset

 é o resultado da aplicação do procedimento 
\begin_inset Formula $\Psi$
\end_inset

 ao argumento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Finalmente,
 apresentaremos o último conceito primitivo que Frege considera em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
,
 a saber,
 a noção de identidade de conteúdo (§8).
 Este conceito,
 diferente do conceitos de negação,
 de implicação,
 de generalização,
 de argumento e de função,
 não é obtido através da análise dos conteúdos conceituais dos juízos e,
 diferente dos três primeiros conceitos primitivos,
 não relaciona os conteúdos conceituais,
 mas nomes dados aos conteúdos conceituais.
 Assim o juízo
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert(A
\backslash
equiv B)$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
significa que o símbolo 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

 e o símbolo 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$B$
\end_layout

\end_inset

 têm o mesmo conteúdo conceitual e,
 portanto,
 podemos sempre substituir 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

 por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$B$
\end_layout

\end_inset

 e vice-versa.
 O propósito para introdução desse símbolo se tornará mais claro quando discutirmos a parte 3 de 
\shape italic
Begriffsschri
\shape default
\emph on
ft
\emph default
.
 A noção de identidade de conteúdo desempenhará um papel importante na introdução das definições de conceitos matemáticos.
 O problema é que a noção de identidade de conteúdos é bastante ambígua,
 pois,
 na parte 2 de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
,
 ela parece desempenhar o papel da identidade entre objetos quando o seguinte axioma é apresentado:
 
\begin_inset Formula $(a\equiv b)\rightarrow(f(a)\rightarrow f(b))$
\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Veremos que Frege substituirá,
 na maioria das vezes,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset

 por símbolos que serão definidos na parte 3 de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
.
 Nesses casos,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 será o 
\emph on
definiens
\emph default
 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset

,
 o 
\emph on
definiendum
\emph default
 das definições lá apresentadas.
 Assim,
 em última análise,
 veremos que a partir de uma definição 
\begin_inset Formula $a\equiv b$
\end_inset

,
 Frege deduz via 
\begin_inset Formula $(a\equiv b)\rightarrow(f(a)\rightarrow f(b))$
\end_inset

 que 
\begin_inset Formula $a\rightarrow b$
\end_inset

.
 A volta,
 ou seja,
 
\begin_inset Formula $b\rightarrow a$
\end_inset

 é obtida via 
\begin_inset Formula $(a\equiv b)\rightarrow(f(b)\rightarrow f(a))$
\end_inset

.
 Mostraremos isso mais tarde.
\end_layout

\end_inset

 (ou seja,
 se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 é igual a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset

 e se a tem 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 propriedade 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

,
 então 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset

 tem esta mesma propriedade).
 Mas,
 como veremos,
 parece existir uma certa incompatibilidade entre a versão lógica da lei acima e a forma como Frege geralmente a usa
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline[cap.
 8]{Chateaubriand2001}
\end_layout

\end_inset

 também indica algumas ambiguidades da noção de igualdade de conteúdos (com relação à noção de verdade).
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ainda na parte 1 de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
,
 Frege apresenta sua regra de inferência (§6).
 Tomemos o seu exemplo:
 sejam os juízos
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{B}{A}$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert B$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
então podemos inferir
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert A$
\end_layout

\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
pois o primeiro juízo significa que a possibilidade de 
\shape italic
A não ser o caso e B ser o caso
\shape default
 não ocorre.
 Mas,
 o segundo juízo significa que 
\shape italic
B é o caso
\shape default
.
 Portanto,
 
\shape italic
A tem de ser o caso
\shape default
,
 pois,
 caso contrário,
 contradiríamos o primeiro juízo
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Esta regra é conhecida por 
\shape italic
modus ponens
\shape default
.
\end_layout

\end_inset

.
 Frege apresenta o 
\shape italic
modus ponens
\shape default
 como a sua única regra de inferência,
 todavia ele também usa,
 implicitamente,
 a regra de substituição
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
A regra de substituição para conceitos é equivalente ao axioma de compreensão de segunda ordem.
 Uma vez que Frege utiliza regra de substituição para conceitos,
 poderíamos assumir explicitamente o axioma de compreensão de segunda ordem.
 Assim,
 o sistema formal de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
 pode ser tomado como um sistema de lógica de segunda ordem.
\end_layout

\end_inset

.
 Na §11,
 Frege também expressa a regra de generalização universal e utiliza-a nas derivações feitas na parte 3 de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
:
\end_layout

\begin_layout Quote
Por exemplo,
 ao invés de
\end_layout

\begin_layout Quote
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert X(a)$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Quote
poderíamos colocar 
\end_layout

\begin_layout Quote
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert
\backslash
BGall a X(
\backslash
mathfrak{a})$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Quote
se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 ocorre somente no lugar de argumento de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X(a)$
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[
\backslash
S 11]{Frege1998a}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege assume que as letras latinas minúsculas (
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a,
 b,
 c,...$
\end_layout

\end_inset

) desempenharão o papel de variáveis.
 Às vezes,
 as letras do início do alfabeto (no caso,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a,
 b,
 c$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$d$
\end_layout

\end_inset

) serão variáveis proposicionais (ou variáveis para conteúdos conceituais),
 às vezes,
 variáveis de argumentos (ou objectual)
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Na verdade,
 isso se deve a ambiguidade da noção de identidade de conteúdo.
 Como veremos,
 apesar de parecer que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a,
 b,
 c$
\end_layout

\end_inset

 se comportem como variáveis de argumento,
 algumas deduções,
 que serão feitas,
 irão assumir que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a,
 b$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$c$
\end_layout

\end_inset

 são determinados símbolos que expressam o mesmo conteúdo conceitual,
 ou seja,
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

 $a,
 b$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$c$
\end_layout

\end_inset

 seriam variáveis proposicionais.
\end_layout

\end_inset

.
 As letras 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f,
 g,
 h$
\end_layout

\end_inset

 serão variáveis de funções.
 Às vezes,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 também será uma variável de relação (no caso,
 binária).
 A letra latina maiúscula 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 será uma variável de função e será usada nas definições dadas na parte 3 de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
.
 As letras latinas minúsculas 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x,
 y,
 z$
\end_layout

\end_inset

 serão variáveis de argumentos (ou objectuais).
\end_layout

\begin_layout Subsection
As leis do pensamento
\end_layout

\begin_layout Standard
No início da parte 2 de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
,
 Frege escreve:
\end_layout

\begin_layout Quote
Agora neste capítulo,
 alguns juízos do pensamento puro que podem ser expressos na notação conceitual têm de sê-lo em símbolos.
 Parece natural deduzir o mais complexo destes juízos a partir de outros mais simples,
 não para os tornar mais certos,
 o que geralmente seria desnecessário,
 mas a fim de explicitar as relações entre os juízos.
 Conhecer meramente as leis não é obviamente o mesmo que entender como algumas delas estão implicitamente contidas em outras.
 Desta maneira,
 obtemos um pequeno número de leis em que (se adicionarmos as leis contidas na regra) está incluído,
 embora de forma embrionária,
 o conteúdo delas [leis] todas.
 E é uma vantagem do modo dedutivo de apresentação,
 pois nos ensina a reconhecer este núcleo [não desenvolvido] de conteúdos.
 Porque não podemos enumerar todo número ilimitado de leis que podem ser estabelecidas,
 obtemos a completude somente procurando por aquelas que,
 potencialmente,
 implicam todas as outras 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[
\backslash
S 13]{Frege1998a}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Na passagem acima,
 Frege expõe sua tática,
 a saber,
 identificar quais as leis lógicas mais básicas (os axiomas) e a partir destas,
 com a regra de inferência,
 obter (calcular,
 como diria Leibniz) leis lógicas mais complexas.
 Frege escolhe,
 para constituir seu conjunto de axiomas,
 as seguintes leis:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{a}{
\backslash
BGconditional{b}{a}}
\backslash
tag{1}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{
\backslash
BGconditional{c}{
\backslash
BGconditional{b}{a}}} {
\backslash
BGconditional{
\backslash
BGconditional{c}{b}}{
\backslash
BGconditional{c}{a}}}
\backslash
tag{2}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{
\backslash
BGconditional{d}{
\backslash
BGconditional{b}{a}}} {
\backslash
BGconditional{b}{
\backslash
BGconditional{d}{a}}}
\backslash
tag{8}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{
\backslash
BGconditional{b}{a}}{
\backslash
BGconditional{
\backslash
BGnot a}{
\backslash
BGnot b}}
\backslash
tag{28}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{
\backslash
BGnot
\backslash
BGnot a}{a}
\backslash
tag{31}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{a}{
\backslash
BGnot
\backslash
BGnot a}
\backslash
tag {41}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{(c
\backslash
equiv d)}{
\backslash
BGconditional{f(c)}{f(d)}}
\backslash
tag{52}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
BGassert(c
\backslash
equiv c)
\backslash
tag{54}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{
\backslash
BGall af(
\backslash
mathfrak{a})}{f(c)}
\backslash
tag{58}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
As fórmulas acima
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Em notação lógica atual:
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
vdash p
\backslash
rightarrow(q
\backslash
rightarrow p)
\backslash
tag{1}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
vdash p
\backslash
rightarrow (q
\backslash
rightarrow r).
\backslash
rightarrow.(p
\backslash
rightarrow q)
\backslash
rightarrow(p
\backslash
rightarrow r)
\backslash
tag{2}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
vdash (p
\backslash
rightarrow (q
\backslash
rightarrow r))
\backslash
rightarrow (q
\backslash
rightarrow (q
\backslash
rightarrow r))
\backslash
tag{8}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
vdash p
\backslash
rightarrow q.
\backslash
rightarrow
\backslash
neg q
\backslash
rightarrow 
\backslash
neg p
\backslash
tag{28}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
vdash
\backslash
neg
\backslash
neg p
\backslash
rightarrow p
\backslash
tag{31}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
vdash p
\backslash
rightarrow 
\backslash
neg
\backslash
neg p
\backslash
tag{41}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
vdash(a
\backslash
equiv b)
\backslash
rightarrow(F(a)
\backslash
rightarrow F(b))
\backslash
tag{52}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
vdash a
\backslash
equiv a
\backslash
tag{54}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
vdash
\backslash
forall x F(x)
\backslash
rightarrow F(c)
\backslash
tag{58}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 são combinações dos conceitos primitivos mencionados anteriormente.
 Por exemplo,
 a primeira,
 segunda e terceira leis só utilizam o conceito de implicação.
 A quarta,
 a quinta e a sexta são expressas por meio da implicação e negação.
 A sétima e a oitava são expressas por meio da implicação,
 identidade (de conteúdo),
 função e argumento.
 E,
 finalmente,
 a nona utiliza os conceitos de implicação,
 quantificação,
 função e argumento.
\end_layout

\begin_layout Standard
Estas nove leis são lógicas,
 segundo Frege,
 porque negá-las implicaria em uma contradição.
 Por exemplo:
 considere a primeira lei acima.
 Temos quatro possibilidades,
 a saber:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 é o caso e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGconditional{b}{a}$
\end_layout

\end_inset

 é o caso;
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 é o caso e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGconditional{b}{a}$
\end_layout

\end_inset

 não é o caso;
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 não é o caso e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGconditional{b}{a}$
\end_layout

\end_inset

 é o caso;
 e
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 não é o caso e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGconditional{b}{a}$
\end_layout

\end_inset

 não é o caso.
\end_layout

\begin_layout Standard
O juízo apresentado na primeira lei exclui a possibilidade (2),
 ou seja,
 a possibilidade de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 ser o caso e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGconditional{b}{a}$
\end_layout

\end_inset

 não ser o caso.
 Assim,
 se assumirmos que a primeira lei não é lógica,
 deveríamos assumir a possibilidade (2).
 Contudo,
 se assumirmos a possibilidade (2),
 teremos de assumir que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset

 é o caso e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 não é o caso (isto porque 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGconditional{b}{a}$
\end_layout

\end_inset

 não é o caso).
 Assim,
 para que a primeira lei não seja o caso,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 tem de ser o caso e não ser o caso ao mesmo tempo,
 o que é contradição.
 Em última análise,
 Frege justifica o caráter lógico de seus axiomas em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
 sempre apelando ao princípio de não-contradição
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Isto é importante porque mais tarde Frege introduzirá,
 parece,
 uma outra noção de lei lógica,
 a saber,
 auto-evidência.
 Adiantando,
 Frege em 
\shape italic
Funktion und Begriff
\shape default
 (1891) afirmará,
 implicitamente,
 que a 
\series bold
Lei Básica V
\series default
 é uma lei lógica,
 posto que o lado direito da igualdade tem o mesmo sentido que o do lado esquerdo.
 Talvez Frege percebera que a 
\series bold
Lei Básica V
\series default
 não preenchia a exigência estipulada em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
 e até mesmo em 
\shape italic
Die Grundlagen der Arithmetik
\shape default
.
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
A lei lógica (9),
 hoje em dia,
 está sendo discutida.
 Isto porque ela nem sempre é verdadeira.
 Assuma,
 por exemplo,
 que seu sistema lógico é livre e aceita termos singulares que não denotam.
 Portanto,
 
\begin_inset Formula $\forall xF(x)\rightarrow F(c)$
\end_inset

 não será verdadeiro se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$c$
\end_layout

\end_inset

 não tiver denotação.
 Na verdade,
 
\begin_inset Formula $\forall xF(x)\rightarrow F(c)$
\end_inset

 não será nem verdadeira,
 nem falsa.
 É interessante notar que nos sistemas de lógicas atuais é assumido que o universo de discurso não é vazio,
 pois,
 caso contrário,
\begin_inset Formula $\forall xF(x)\rightarrow F(c)$
\end_inset

 não seria válida ou verdadeira em todos os domínios,
 uma vez que em um domínio vazio,
 ela pode ser nem verdadeira,
 nem falsa.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege assume implicitamente algumas leis que hoje compõem a meta-teoria.
 Por exemplo,
 Frege assume que se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

 é uma lei lógica (tautologia),
 então 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A'$
\end_layout

\end_inset

,
 que é obtida a partir de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

 substituindo algumas ou todas as ocorrências das variáveis proposicionais por fórmulas,
 é também uma lei lógica (tautologia).
 Por exemplo,
 assuma a primeira lei,
 a saber:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{a}{
\backslash
BGconditional{b}{a}}
\backslash
tag{A}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Se substituirmos em (A),
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset

 por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGconditional{a}{b}$
\end_layout

\end_inset

,
 obtemos então 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{a}{
\backslash
BGconditional{
\backslash
BGconditional{a}{b}}{a}}$
\end_layout

\end_inset

,
 que seria nossa 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A'$
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Poderíamos substituir todas as ocorrências de variáveis em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{a}{
\backslash
BGconditional{b}{a}}$
\end_layout

\end_inset

.
 A única restrição é que a substituição tem de ser uniforme.
\end_layout

\end_inset

.
 Note que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{a}{
\backslash
BGconditional{
\backslash
BGconditional{a}{b}}{a}}$
\end_layout

\end_inset

 é também uma lei lógica.
 Podemos assumir esse procedimento como regra de inferência:
 a regra da substituição
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Esta regra vale para as primeiras seis leis que compõem o cálculo proposicional.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege também assume implicitamente que a regra de 
\shape italic
modus ponens
\shape default
 preserva a logicidade.
 Isto é,
 todas as leis lógicas derivadas dos axiomas por meio de 
\shape italic
modus ponens
\shape default
 são lógicas também.
 Hoje há um meta-teorema que diz que se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

 for uma tautologia e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A
\backslash
rightarrow B$
\end_layout

\end_inset

 for uma tautologia,
 então 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$B$
\end_layout

\end_inset

 será uma tautologia,
 isto é,
 a regra de 
\shape italic
modus ponens
\shape default
 preserva a 
\shape italic
tautologicidade
\shape default

\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Não é difícil provar isto:
 assuma que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A
\backslash
rightarrow B$
\end_layout

\end_inset

 são tautologias e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$B$
\end_layout

\end_inset

 não é uma tautologia.
 Se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$B$
\end_layout

\end_inset

 não é uma tautologia,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$B$
\end_layout

\end_inset

 é falso para alguma valoração.
 Mas,
 uma vez que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$B$
\end_layout

\end_inset

 é falso para alguma valoração e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

 é uma tautologia,
 então na valoração em questão 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A
\backslash
rightarrow B$
\end_layout

\end_inset

 é falso.
 Portanto,
 se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$B$
\end_layout

\end_inset

 não é uma tautologia,
 então 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A
\backslash
rightarrow B$
\end_layout

\end_inset

 não é uma tautologia,
 contrariando a hipótese.
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Isto vale para as seis primeiras leis que compõem o cálculo proposicional.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ele também assume implicitamente uma regra de substituição para funções.
 Por exemplo,
 considere a lei lógica (58),
 a saber,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{
\backslash
BGall af(
\backslash
mathfrak{a})}{f(c)}$
\end_layout

\end_inset

.
 Poderíamos substituir 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f(A)$
\end_layout

\end_inset

 por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGconditional{h(A)}{
\backslash
BGconditional{g(A)}{f(A)}}$
\end_layout

\end_inset

.
 Assim,
 obteríamos
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$$
\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional {
\backslash
BGall a
\backslash
BGconditional{h(
\backslash
mathfrak{a})}{
\backslash
BGconditional{g(
\backslash
mathfrak{a})}{f(
\backslash
mathfrak{a})}}}{
\backslash
BGconditional{h(c)}{
\backslash
BGconditional{g(c)}{f(c)}}}$$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Como indicamos em uma nota,
 a regra de substituição para conceitos é equivalente ao axioma de compreensão de segunda ordem (na verdade,
 um esquema de axioma) que pode ser posto nos seguintes termos:
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
\align center
\begin_inset Formula $\exists R^{n}\forall x_{1},...,\forall x_{n}(R^{n}(x_{1},...,x_{n})\leftrightarrow A(x_{1},...,x_{n}))$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
onde 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

 é qualquer fórmula (da linguagem) e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 não ocorre livre em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$A$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
O sistema lógico apresentado em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
 interpretado como um sistema lógico de segunda ordem e com o axioma da compreensão impredicativo é um sistema lógico adequado para a derivação dos axiomas da aritmética de Dedekind-Peano.
 Na próxima seção,
 apresentaremos as definições lógicas de 
\shape italic
ordenação-em-uma-sequência
\shape default
 e discutiremos a derivação de alguns teoremas a partir das definições e leis lógicas.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Redução do conceito de ordenação-em-uma-sequência ao conceito de implicação lógica
\end_layout

\begin_layout Standard
Como dissemos na seção 2.4,
 o objetivo central de Frege em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
 era mostrar que o conceito de uma 
\shape italic
ordenação-em-uma-sequência
\shape default
 poderia ser reduzido ao conceito de implicação lógica.
 Nesta subseção,
 apresentaremos estas definições e discutiremos uma questão relacionada à identidade de conteúdo.
\end_layout

\begin_layout Standard
As quatro definições de conceitos matemáticos (no caso,
 conceitos da aritmética) a partir das quais,
 juntamente com as leis lógicas (apresentadas na parte 2),
 são obtidos outros conceitos matemáticos bastante interessantes (na notação conceitual)
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
As definições a seguir são apresentadas nas seções 24,
 26,
 29 e 31 de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
,
 respectivamente.
\end_layout

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
Vdash
\backslash
BGbracket{
\backslash
BGbracket{
\backslash
BGall d
\backslash
BGconditional{F(
\backslash
mathfrak{d})}{
\backslash
BGall a
\backslash
BGconditional{f(
\backslash
mathfrak{d},
\backslash
mathfrak{a})}{F(
\backslash
mathfrak{a})}}}
\backslash
equiv
\backslash
 
\backslash
stackrel[
\backslash
alpha]{
\backslash
delta}{
\backslash
rule[0.01mm]{0.1mm}{3mm}} 
\backslash
Big(^{F(
\backslash
alpha)}_{f(
\backslash
delta,
\backslash
alpha)}}
\backslash
tag{1}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
Vdash
\backslash
BGbracket{
\backslash
BGbracket{
\backslash
BGall F
\backslash
BGconditional{
\backslash
stackrel[
\backslash
alpha]{
\backslash
delta}{
\backslash
rule[0.01mm]{0.1mm}{3mm}} 
\backslash
Big(^{
\backslash
mathfrak{F}(
\backslash
alpha)}_{f(
\backslash
delta,
\backslash
alpha)}}{
\backslash
BGconditional{
\backslash
BGall a
\backslash
BGconditional{f(x,
\backslash
mathfrak{a})}{
\backslash
mathfrak{F}(
\backslash
mathfrak{a})}}{
\backslash
mathfrak{F}(y)}}}
\backslash
equiv
\backslash
 
\backslash
stackrel[
\backslash
beta]{
\backslash
gamma}{
\backslash
sim}f(x_{
\backslash
gamma},y_{
\backslash
beta})}
\backslash
tag{2}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
Vdash
\backslash
BGbracket{
\backslash
BGbracket{
\backslash
BGconditional{
\backslash
BGnot 
\backslash
stackrel[
\backslash
beta]{
\backslash
gamma}{
\backslash
sim}f(x_{
\backslash
gamma},z_{
\backslash
beta})}{(z
\backslash
equiv x)}}
\backslash
equiv
\backslash
 
\backslash
stackrel[
\backslash
beta]{
\backslash
gamma}{
\backslash
stackrel{
\backslash
rule{2.8mm}{0.1mm}}{
\backslash
sim}}f(x_{
\backslash
gamma},z_{
\backslash
beta})}
\backslash
tag{3}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
Vdash
\backslash
BGbracket{
\backslash
BGbracket{
\backslash
BGall e 
\backslash
BGall d
\backslash
BGconditional{f(
\backslash
mathfrak{d},
\backslash
mathfrak{e})}{
\backslash
BGall a
\backslash
BGconditional{f(
\backslash
mathfrak{d},
\backslash
mathfrak{a})}{(
\backslash
mathfrak{a}
\backslash
equiv
\backslash
mathfrak{e})}}}
\backslash
equiv
\backslash
 
\backslash
stackrel[
\backslash
epsilon]{
\backslash
delta}{
\backslash
mbox{I}}f(
\backslash
delta,
\backslash
epsilon)}
\backslash
tag{4}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\begin_inset VSpace 6pt
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Antes de explicarmos o significado dos símbolos acima,
 faremos algumas observações gerais sobre estas definições.
 Primeiramente,
 note que no lado esquerdo do símbolo “
\begin_inset Formula $\equiv$
\end_inset

” há somente os símbolos que foram introduzidos para representar os conceitos primitivos (implicação,
 negação,
 quantificação,
 função,
 relação).
 E no lado direito,
 há símbolos que não foram introduzidos anteriormente.
 Além disso,
 aparece no início de cada definição o símbolo
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\Vdash$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Este símbolo,
 diferente do símbolo de juízo,
 não indica que o conteúdo que se segue está sendo julgado,
 mas sim estipulado.
 Assim,
 poderíamos traduzir este símbolo por “seja de agora em diante tal coisa”.
 Em última análise,
 as definições acima estipulam que os símbolos que ocorrem à direita do símbolo de igualdade (de conteúdos) têm o mesmo conteúdo conceitual que os símbolos que ocorrem à esquerda do símbolo de identidade (de conteúdos)
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Poderíamos entender também as definições de Frege da seguinte maneira:
 o símbolo que ocorre à direita do símbolo de igualdade de conteúdo é uma abreviação do símbolo que ocorre à esquerda.
\end_layout

\end_inset

.
 E uma vez que uma definição é uma estipulação,
 então,
 segundo Frege,
 nenhum juízo é feito (em particular,
 nenhum juízo sintético).
 Contudo,
 somente juízos entram na cadeia de deduções e,
 portanto,
 Frege tem de transformar a estipulação acima em um juízo.
 Segundo Frege,
 uma vez que é estipulado que ambos os símbolos que ocorrem à direita e à esquerda de “
\begin_inset Formula $\equiv$
\end_inset

” têm o mesmo conteúdo conceitual,
 então seu sentido é fixado e,
 portanto,
 esta estipulação pode ser transformada em um juízo e,
 neste caso,
 um juízo analítico (pois foi estabelecido que tais símbolos representam o mesmo conteúdo conceitual).
 Assim,
 segundo Frege,
 uma vez que as definições são transformadas em juízos analíticos,
 segue-se então que os juízos derivados das definições juntamente com as leis lógicas (segundo as regras de inferências apresentadas) são também analíticos.
 Frege interpreta,
 parece,
 a noção de identidade (de conteúdos) como relacionando os nomes dados aos conteúdos e não os próprios conteúdos para mostrar que suas definições são analíticas.
 Se a identidade (de conteúdos) relacionasse os próprios conteúdos,
 então um Kantiano poderia reivindicar que o juízo apresentado nas definições seria sintético.
 Na §8,
 temos algumas evidências textuais
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
“Mas,
 o juízo requer,
 para sua expressão,
 um símbolo para identidade de conteúdos no intuito de combinar dois nomes.
 Segue-se disto que diferentes nomes para o mesmo conteúdo nem sempre são meramente uma questão indiferente de forma;
 mas,
 ao contrário,
 se eles são associados a diferentes modos de determinação,
 eles atingem o coração da questão.
 Neste caso,
 o juízo para identidade de conteúdo é sintético no sentido Kantiano”.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[
\backslash
S 8]{Frege1972}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Examinemos agora as definições individualmente.
 A primeira definição pode ser traduzida em palavras assim:
 “para todo objeto 
\begin_inset Formula $\mathfrak{b}$
\end_inset

,
 se 
\begin_inset Formula $\mathfrak{b}$
\end_inset

 tem a propriedade 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

,
 então para todo objeto 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

,
 se 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

 está na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 com 
\begin_inset Formula $\mathfrak{b}$
\end_inset

,
 então 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

 tem a propriedade 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

”.
 Frege define em (1) a relação de hereditariedade.
 Podemos entender a definição (1) como afirmando que a propriedade 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 é hereditária na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

,
 quando 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 satisfazem a condição estabelecida acima.
 Frege está definindo a seguinte relação de segunda ordem (na sua notação conceitual)
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGall d
\backslash
BGconditional{
\backslash
Phi(
\backslash
mathfrak{d})}{
\backslash
BGall a
\backslash
BGconditional{
\backslash
Psi(
\backslash
mathfrak{d},
\backslash
mathfrak{a})}{
\backslash
Phi(
\backslash
mathfrak{a})}}$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
sob a qual caem pares ordenados do tipo 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$<F,f>$
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Os símbolos “
\begin_inset Formula $\Phi$
\end_inset

” e “
\begin_inset Formula $\Psi$
\end_inset

” indicam os lugares dos argumentos.
\end_layout

\end_inset

 (
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 sendo uma propriedade,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 uma relação).
 Na notação lógica atual,
 a definição da relação de hereditariedade poderia ser dada assim:
 
\begin_inset Formula $\forall\mathfrak{b}\forall\mathfrak{a}(F(\mathfrak{b})\wedge f(\mathfrak{b,a})\rightarrow F(\mathfrak{a}))\equiv Her(F,f)$
\end_inset

 (onde,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$Her(F,f)$
\end_layout

\end_inset

 significa que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 é hereditária na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
A segunda definição é a do “ancestral forte”.
 Em palavras,
 ela diz que “para toda propriedade 
\begin_inset Formula $\mathfrak{F}$
\end_inset

,
 se 
\begin_inset Formula $\mathfrak{F}$
\end_inset

 é hereditária em uma relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 e se para todo objeto 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

,
 se 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

 está na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 com um objeto qualquer 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

,
 então 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

 tem a propriedade F,
 então um objeto qualquer 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset

 tem a propriedade 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

”.
 Em outras palavras,
 podemos dizer que “
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset

 se segue após 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

”.
 Aqui,
 Frege está definindo a relação de primeira ordem 
\shape italic
seguir-se após em uma relação
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 sob a qual caem pares ordenados de objetos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$<x,y>$
\end_layout

\end_inset

.
 Na notação conceitual de Frege,
 este conceito é
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGall F
\backslash
BGconditional{
\backslash
stackrel[
\backslash
alpha]{
\backslash
delta}{
\backslash
rule[0.01mm]{0.1mm}{3mm}} 
\backslash
Big(^{
\backslash
mathfrak{F}(
\backslash
alpha)}_{f(
\backslash
delta,
\backslash
alpha)}}{
\backslash
BGconditional{
\backslash
BGall a
\backslash
BGconditional{f(
\backslash
xi,
\backslash
mathfrak{a})}{
\backslash
mathfrak{F}(
\backslash
mathfrak{a})}}{
\backslash
mathfrak{F}(
\backslash
zeta)}}$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Na notação lógica atual,
 a definição desta relação poderia ser:
 
\begin_inset Formula $\forall\mathfrak{F}[(Her(\mathfrak{F},f)\wedge\forall\mathfrak{a}(f(x,\mathfrak{a})\rightarrow\mathfrak{F}(\mathfrak{a})))\rightarrow\mathfrak{F}(y)]\equiv xf*y$
\end_inset

 (onde,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$xf*y$
\end_layout

\end_inset

 significa que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
se segue após
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
na sequência
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 ou então,
 se preferir,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
precede
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
na sequência
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
A terceira definição é a do “ancestral fraco”.
 Poderíamos ler esta definição como se segue:
 “
\shape italic
ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$z$
\end_layout

\end_inset

 se segue após 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 em uma relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$z$
\end_layout

\end_inset

 é igual a 
\shape default

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

”.
 Aqui,
 Frege está definindo a relação de primeira ordem 
\shape italic
pertencer a uma sequência 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 iniciada por
\shape default

\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Mais adiante veremos que esta relação desempenhará um papel importante na definição de número natural.
\end_layout

\end_inset

 sob a qual caem pares de objetos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$<x,y>$
\end_layout

\end_inset

.
 Na notação conceitual de Frege,
 este conceito é representado por
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGconditional{
\backslash
BGnot 
\backslash
stackrel[
\backslash
beta]{
\backslash
gamma}{
\backslash
sim}f(
\backslash
xi_{
\backslash
gamma},
\backslash
zeta_{
\backslash
beta})}{(
\backslash
zeta
\backslash
equiv 
\backslash
xi)}$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Na notação lógica atual,
 poderíamos definir esta relação como se segue:
 
\begin_inset Formula $xf*z\vee x=z\equiv xf*^{=}y$
\end_inset

 (onde 
\begin_inset Formula $xf*^{=}z$
\end_inset

 significa:
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$z$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
se segue após 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 na sequência 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$z$
\end_layout

\end_inset

 é igual a 
\shape default

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

).
 Aqui há um problema interpretativo.
 Frege explicou que o símbolo de igualdade de conteúdo não relaciona conteúdos conceituais,
 mas sim nomes dados a estes conteúdos.
 A questão é que na definição do “ancestral fraco”,
 o símbolo “
\begin_inset Formula $\equiv$
\end_inset

” funciona como uma igualdade que relaciona dois objetos e não os nomes desses objetos
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Depois,
 em 
\shape italic
Über Sinn und Bedeutung
\shape default
 (1892),
 Frege tratará o símbolo “
\begin_inset Formula $\equiv$
\end_inset

” como sendo o símbolo de igualdade ordinário.
 Para isso,
 Frege foi obrigado a fazer a distinção entre o sentido e a referência de um nome (próprio).
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Finalmente,
 a quarta definição é a de função.
 Em palavras,
 esta definição nos diz que “para quaisquer objetos 
\begin_inset Formula $\mathfrak{e}$
\end_inset

,
 
\begin_inset Formula $\mathfrak{d}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

,
 se 
\begin_inset Formula $\mathfrak{d}$
\end_inset

 está na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 com 
\begin_inset Formula $\mathfrak{e}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\mathfrak{d}$
\end_inset

 está na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 com 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

,
 então 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

 é igual a 
\begin_inset Formula $\mathfrak{e}$
\end_inset

”.
 Aqui,
 é definido então uma propriedade de segunda ordem funcionalidade sob a qual caem relações de primeira ordem (satisfazendo,
 é claro,
 a condição estabelecida acima)
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
As funções são relações de um tipo especial,
 ou seja,
 uma função é uma relação que satisfaz o seguinte requisito:
 todo elemento que pertence ao domínio da função está relacionado a um e somente um elemento do contradomínio.
\end_layout

\end_inset

.
 Esta propriedade pode ser representada na notação conceitual assim
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGall e 
\backslash
BGall d
\backslash
BGconditional{
\backslash
Psi(
\backslash
mathfrak{d},
\backslash
mathfrak{e})}{
\backslash
BGall a
\backslash
BGconditional{
\backslash
Psi(
\backslash
mathfrak{d},
\backslash
mathfrak{a})}{(
\backslash
mathfrak{a}
\backslash
equiv
\backslash
mathfrak{e})}}$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Na notação lógica atual,
 poderíamos definir esta propriedade da seguinte maneira:
 
\begin_inset Formula $\forall\mathfrak{e}\forall\mathfrak{d}\forall\mathfrak{a}(\mathfrak{d}f\mathfrak{a}\wedge\mathfrak{d}f\mathfrak{e}\rightarrow\mathfrak{a}=\mathfrak{e})\equiv Func(f)$
\end_inset

 (onde 
\begin_inset Formula $Func(f)$
\end_inset

 significa 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 é uma função).
\end_layout

\begin_layout Standard
Apresentado o significado das quatro definições de Frege,
 agora pretendemos discutir a questão que sustentamos em uma nota e na subseção 2.4.1.
 Lá,
 afirmamos que Frege,
 na parte 2 de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
,
 apresenta como uma lei lógica primitiva (axioma) a seguinte fórmula 
\begin_inset Formula $(a\equiv b\rightarrow(F(a)\rightarrow F(b)))$
\end_inset

 (a fórmula (7),
 na subseção 2.4.2).
 Como dissemos,
 esta lei parece tratar o símbolo “
\begin_inset Formula $\equiv$
\end_inset

” como expressando a identidade no sentido ordinário.
 Contudo,
 como também dissemos,
 “
\begin_inset Formula $\equiv$
\end_inset

” é tratado por Frege (§8) como expressando uma identidade entre símbolos,
 e não entre objetos.
 A questão é que Frege ora toma esta lei (e as leis derivadas dela) no primeiro sentido,
 ora no segundo sentido.
 Exemplificaremos:
 na §25 de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
,
 Frege apresenta a seguinte dedução:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
assuma a primeira definição,
 no caso,
 
\begin_inset Formula $\forall\mathfrak{b}\forall\mathfrak{a}(F(\mathfrak{b})\wedge f(\mathfrak{b,a})\rightarrow F(\mathfrak{a}))\equiv Her(F,f)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
assuma a lei lógica básica 7,
 ou seja,
 
\begin_inset Formula $a\equiv b\rightarrow(F(a)\rightarrow F(b))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
agora,
 substitua 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $\forall\mathfrak{b}\forall\mathfrak{a}(F(\mathfrak{b})\wedge f(\mathfrak{b,a})\rightarrow F(\mathfrak{a}))$
\end_inset

 ,
 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $Her(F,f)$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $F(\Gamma)$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Isto significa que 
\begin_inset Formula $F(\Gamma)$
\end_inset

 é substituída pelo seu próprio argumento.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
obtemos então 
\begin_inset Formula $((xf*z\vee x=z)\equiv xf*=z)\rightarrow((xf*=z)\rightarrow(xf*zvx=z))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
(5) Aplicando modus ponens entre (1) e (4),
 temos 
\begin_inset Formula $(xf*=z)\rightarrow(xf*zvx=z)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ou seja,
 a lei 
\begin_inset Formula $(a\equiv b)\rightarrow(f(a)\rightarrow f(b))$
\end_inset

 parece desempenhar o papel da seguinte lei lógica do cálculo proposicional:
 
\begin_inset Formula $(a\leftrightarrow b)\rightarrow(f(a)\rightarrow f(b))$
\end_inset

.
 Há uma evidência em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
 na qual poderíamos tomar Frege como interpretando “
\begin_inset Formula $\equiv$
\end_inset

” no sentido de uma equivalência quando ele escreve o seguinte no prefácio deste livro:
\end_layout

\begin_layout Quote
Notei somente depois que as fórmulas (31) 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{
\backslash
BGnot
\backslash
BGnot a}{a}$
\end_layout

\end_inset

 e (41) 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert
\backslash
BGconditional{a}{
\backslash
BGnot
\backslash
BGnot a}$
\end_layout

\end_inset

 poderiam ser combinadas em uma única fórmula
\end_layout

\begin_layout Quote
\noindent
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
BGassert(
\backslash
BGnot
\backslash
BGnot a
\backslash
equiv a)$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Quote
que possibilitaria,
 até mesmo,
 mais simplificações.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[Prefácio]{Frege1972}
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Devemos esta observação a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline[cap.
 8]{Chateaubriand2001}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Por outro lado,
 na derivação da proposição 92,
 a saber,
 
\begin_inset Formula $(x\equiv z)\rightarrow(xfy\rightarrow zf*y)$
\end_inset

 (se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 é igual a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$z$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset

 está na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

,
 então 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset

 se segue após 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$z$
\end_layout

\end_inset

 na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

),
 Frege utiliza a lei lógica 
\begin_inset Formula $f(c)\rightarrow((c\equiv d)\rightarrow f(d))$
\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Sua numeração em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
 é (53).
\end_layout

\end_inset

 (derivada da lei básica 7) como uma lei que rege a identidade de objetos.
 Vejamos porque:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
vamos assumir,
 como Frege faz,
 a proposição 91,
 a saber,
 
\begin_inset Formula $xfy\rightarrow xf*y$
\end_inset

 (ou seja,
 se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset

 está na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

,
 então 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset

 se segue após 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Enumerate
tome agora a lei 
\begin_inset Formula $f(c)\rightarrow((c\equiv d)\rightarrow f(d))$
\end_inset

 (proposição 53 em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
).
\end_layout

\begin_layout Enumerate
substitua 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$c$
\end_layout

\end_inset

 por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

,
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$d$
\end_layout

\end_inset

 por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$z$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $f(\Delta)$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $xfy\rightarrow\Delta fy$
\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Frege comete um erro aqui,
 parece,
 pois ele substitui 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$c$
\end_layout

\end_inset

 por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$z$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$d$
\end_layout

\end_inset

 por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

.
 Contudo,
 nesta substituição,
 é obtida a seguinte proposição:
 
\begin_inset Formula $(xfy\rightarrow zf*y)\rightarrow((z\equiv x)\rightarrow(xfy\rightarrow xf*y))$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
obtemos assim a seguinte proposição:
 
\begin_inset Formula $(xfy\rightarrow xf*y)\rightarrow((z\equiv x)\rightarrow(xfy\rightarrow zf*y))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Aplicando modus ponens entre (1) e (4),
 chegamos à proposição 
\begin_inset Formula $(z\equiv x)\rightarrow(xfy\rightarrow zf*y)$
\end_inset

 (92).
\end_layout

\begin_layout Standard
Note que agora Frege considera 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 (na proposição 53) como sendo uma função de primeira ordem (no caso,
 a função 
\begin_inset Formula $xfy\rightarrow\xi fy$
\end_inset

) sob a qual caem objetos.
 Assim,
 
\begin_inset Formula $c\equiv d$
\end_inset

 tem de ser interpretado,
 na proposição (53),
 como expressando a identidade ordinária entre dois objetos.
 Essa ambiguidade será dissipada em “
\shape italic
Über Sinn und Bedeutung
\shape default
”,
 uma vez que Frege considerará os valores de verdade como objetos.
 Esta consideração juntamente com a distinção entre sentido e referência e a interpretação de “
\begin_inset Formula $\equiv$
\end_inset

” como significando o sinal de identidade ordinário,
 permitirá uma interpretação inequívoca da lei básica (7) e das leis derivadas a partir dela.
 Há ainda outras questões em 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
,
 mas infelizmente não as discutiremos aqui.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para finalizar esta seção,
 apresentaremos duas proposições que,
 acreditamos,
 Frege consideraria como paradigmas de que a aritmética não necessita da intuição para provar suas proposições.
 Elas são as proposições (98) e (133) (numeração de Begriffsschrift).
 A proposição (98) é 
\begin_inset Formula $xf*y\rightarrow(yf*z\rightarrow xf*z)$
\end_inset

 e afirma que a relação ancestral forte é transitiva.
 Podemos ler a proposição 98 assim:
 se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset

 se segue após 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 e se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$z$
\end_layout

\end_inset

 se segue após 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset

 na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

,
 então 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$z$
\end_layout

\end_inset

 se segue após 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
O uso de 
\shape italic
seguir-se após
\shape default
 não significa que estamos usando a noção de tempo aqui,
 mas infelizmente é difícil traduzir para a linguagem ordinária o que exatamente a proposição diz.
\end_layout

\end_inset

.
 A proposição (133) é 
\begin_inset Formula $Fun(F)\rightarrow(xf*m\rightarrow(xf*y\rightarrow(yf*mvmf*yvm=y))))$
\end_inset

.
 Esta proposição indica que se uma relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 é funcional,
 então a relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 conecta quaisquer dois objetos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset

 que estão na relação de ancestralidade 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

.
 Em palavras,
 a proposição 133 afirma que se a relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 é funcional (ou uma função),
 e se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

m
\end_layout

\end_inset

 se segue após 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

,
 e se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset

 se segue após 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

,
 então ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

 se segue após 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset

 na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset

 se segue após 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

 na relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

 é igual a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$y$
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Note que dessa proposição é possível obter o princípio de tricotomia para números naturais (basta interpretar a relação 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 convenientemente):
 dados dois números naturais 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset

 ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a<b$
\end_layout

\end_inset

 ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b<a$
\end_layout

\end_inset

 ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a=b$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Die Grundlagen der Arithmetik
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege,
 no último parágrafo de Begriffsschrift,
 escreve:
\end_layout

\begin_layout Quote
A aritmética,
 como disse no início,
 foi o ponto de partida da cadeia de pensamento que me levou a minha notação conceitual.
 Portanto,
 pretendo aplicá-la a esta ciência,
 tentando analisar seus conceitos e fornecer um fundamento mais profundo para seus teoremas.
 Aqui,
 apresento no terceiro capítulo algumas coisas que se movem nesta direção.
 Além disso,
 o prosseguimento do caminho sugerido,
 a elucidação dos conceitos de número,
 magnitude e assim por diante,
 deve constituir o assunto de outras investigações que produzirei imediatamente após este livro.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[Prefácio]{Frege1972}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Estas investigações demoraram cinco anos,
 quando Frege publicou 
\shape italic
Die Grundlagen der Arithmetik
\shape default
.
 É interessante notar que o tom de Frege na citação acima sugere que ele já tinha em mente o rumo de suas pesquisas sobre o conceito de número e magnitude.
 Por que Frege demorou tanto para publicar o 
\shape italic
Die Grundlagen der Arithmetik
\shape default
?
 Esta questão tem uma importância mais histórica do que filosófica e uma resposta para ela é totalmente especulativa.
 Contudo,
 acreditamos que vale a pena uma pequena discussão.
 Gostaríamos de levantar três possíveis respostas:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
a primeira é que esta passagem era totalmente retórica e,
 na verdade,
 Frege ainda não tinha em mente como se dariam estas investigações,
 e por isso a demora na publicação do livro;
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
a segunda,
 apresentada por Bynum (1972),
 é que Frege realmente já tinha traçado a sua análise do conceito de número e pretendia executá-la logo após a publicação de Begriffsschrift,
 mas devido à pequena receptividade deste livro,
 ele foi obrigado a adiar seu objetivo no intuito de responder às críticas levantadas à sua notação conceitual
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Uma das críticas principais,
 uma crítica levantada por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline{Schroeder1972}
\end_layout

\end_inset

,
 era que já existia uma linguagem formal,
 a de Boole,
 em voga e a mesma já era suficiente para representar as leis do pensamento (ou da lógica).
 É interessante mencionar que Frege não faz nenhuma referência a Boole no seu primeiro livro.
 É sugerido que Frege não conhecia o seu trabalho antes de 
\shape italic
Begriffsschrift
\shape default
 e somente depois das críticas ele se familiarizou com a lógica Booleana.
\end_layout

\end_inset

.
 A resposta de Bynum parece plausível,
 uma vez que Frege publicou,
 em revistas especializadas,
 entre os anos de 1880-2,
 alguns artigos defendendo a sua notação conceitual
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Por exemplo,
 “
\shape italic
Über den Zweck der Begriffsschrift
\shape default
” (1882-3) e “
\shape italic
Über die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift
\shape default
” (1882).
 Além disso,
 Frege tentou publicar,
 sem sucesso,
 o artigo “
\shape italic
Booles rechnende Logik und die Begriffsschrift
\shape default
” (1880-1) e “
\shape italic
Booles logische Formelsprache und meine Begriffsschrift
\shape default
” (1882b).
\end_layout

\end_inset

;
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
a terceira resposta está fundamentada textualmente.
 Frege não só tinha em mente o rumo de sua pesquisa sobre o conceito de número,
 como também a executou antes do ano de 1884.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Há uma passagem em uma carta que Frege enviou a Anton Marty em 29 de agosto de 1882 que fundamenta tal resposta:
\end_layout

\begin_layout Quote
Caro Colega,
 sua carta cordial me deixou muito feliz,
 ainda mais que,
 até agora,
 encontrei muito pouco concordância.
 Eu gostaria de lhe dar mais algumas informações sobre minha Begriffsschrift,
 na esperança de que Sr.,
 talvez,
 tenha a oportunidade de mencioná-la em algum periódico.
 Isto tornaria mais fácil para que eu publicasse outros trabalhos.
 Agora,
 eu estou quase completando um livro no qual eu trato do conceito de número cardinal [
\shape italic
Anzahl
\shape default
] e demonstro que os primeiros princípios sobre contar os números [
\shape italic
ersten Sätze über das Zählen der Zahl
\shape default
],
 que até agora foram considerados,
 em geral,
 como axiomas indemonstráveis,
 podem ser provados a partir de definições por meio de leis lógicas somente,
 de maneira que estes princípios podem ser considerados como juízos analíticos no sentido de Kant.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 163]{Frege1976}
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline[p.
 99]{Frege1980}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
A passagem acima sugere que Frege,
 em 1882,
 já tinha escrito grande parte de 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
.
 Mas por que ele ainda demorou dois anos para publicá-lo?
 Uma outra passagem desta carta parece elucidar a questão:
\end_layout

\begin_layout Quote
Eu me encontro em um círculo vicioso:
 antes que as pessoas dêem atenção à minha notação conceitual,
 elas querem ver o que eu posso fazer com ela e eu,
 por sua vez,
 não posso mostrar isto sem pressupor uma familiaridade com a minha notação conceitual.
 Assim,
 parece que dificilmente contarei com qualquer leitor para o livro que mencionei no início [da carta].
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 165]{Frege1976}
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline[p.
 102]{Frege1980}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
A passagem acima sugere que Frege não publicou seu 
\emph on
\lang ngerman
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
\lang brazilian
 porque tinha receio de que ninguém o leria.
 A passagem também insinua que o suposto livro fora escrito na notação conceitual,
 senão seu temor não teria sentido.
 Vale mencionar que onze dias após enviar a carta a Anton Marty,
 Frege,
 em 9 de setembro de 1882,
 recebeu uma carta de Carl Stumpf na qual ele sugere que Frege escrevesse um livro na linguagem ordinária,
 explicando sua linha de raciocínio e,
 então,
 no mesmo livro ou em um livro posterior pusesse suas idéias na notação conceitual.
 Esta sugestão parece ter sido seguida por Frege (Frege,
 1976,
 pág.256 (1980,
 pág.
 171)).
 Assim,
 apesar de ser uma especulação,
 parece plausível,
 dadas estas evidências textuais,
 que Frege já tinha escrito grande parte de 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
 em 1882 (na sua notação conceitual),
 não o publicou por receio de que este livro tivesse uma pequena aceitação (como ocorrera com 
\emph on
Begriffsschrift
\emph default
) e Frege o publicou somente em 1884 depois de reescrever o seu conteúdo na linguagem ordinária (seguindo a sugestão de Carl Stumpf).
 Novamente especulando,
 o livro escrito na notação conceitual em 1882 talvez seja o livro que Frege teve de descartar depois da introdução dos valores de verdade como objetos e da distinção entre sentido e referência
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Mesmo escrito na linguagem ordinária,
 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
 teve uma pequena recepção.
 Tal fato deve ter levado Frege a adiar a publicação do livro em notação conceitual.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Depois desta pequena digressão,
 voltemos a nossa atenção para 
\emph on
\lang ngerman
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
\lang brazilian
.
 O objetivo central de Frege neste livro é formular o conceito de número em termos puramente lógicos,
 na intenção de executar seu programa logicista que começara em 
\emph on
Begriffsschrift
\emph default
.
 Geralmente,
 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
 é dividido em duas partes,
 a primeira (introdução até §44) é dita ser essencialmente negativa nos seus objetivos.
 Frege apresenta,
 discute e refuta uma série de opiniões referentes à natureza das proposições da aritmética,
 ao conceito de número cardinal,
 e à noção de unidade.
 Mas,
 na verdade,
 a primeira parte também tem um aspecto positivo.
 Frege,
 ao refutar uma determinada opinião,
 implicitamente estabelece a sua.
 Infelizmente,
 não discutiremos estes aspectos da primeira parte de 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
,
 pois nos tomaria muito tempo e espaço.
 Contudo,
 gostaríamos de indicar ao leitor,
 algumas teses positivas implicitamente defendidas lá por Frege.
 Nas §§5-17,
 Frege argúi implicitamente em favor da provabilidade das fórmulas numéricas e,
 além disso,
 ele simpatiza com a maneira de definição dos números individuais de Leibniz 
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Leibniz define os números da seguinte maneira:
 2=1+1;
 3=2+1;
 4=3+1 etc.
 Em geral,
 Leibniz define os números individuais a partir de 1 e do acréscimo de um.
\end_layout

\end_inset

.
 É claro que,
 como ele mesmo diz,
 é necessária uma lei geral para provar as fórmulas numéricas a partir dessas definições
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Uma lei geral é necessária pela seguinte razão:
 não podemos provar as fórmulas numéricas somente a partir das definições.
 Leibniz,
 implicitamente,
 assume a associatividade da adição (a+(b+1)=(a+b)+1).
 É claro que poderíamos considerar esta lei como sendo um axioma.
 Mas,
 para o objetivo de Frege,
 ter-se-ia de mostrar que a associatividade da adição é uma lei lógica,
 caso contrário seu programa logicista fracassaria.
 Frege então defenderá a existência de uma lei geral lógica que desempenha um papel análogo da associatividade da adição.
 E a partir dela,
 mais as definições individuais dos números é possível provar as fórmulas numéricas.
\end_layout

\end_inset

.
 E esta lei geral tem de ser lógica,
 uma vez que,
 como dissemos acima,
 seu objetivo é mostrar que a aritmética pode ser reduzida à lógica.
 Nas §§18-44,
 Frege estabelece que o conceito de número cardinal (
\emph on
Anzahl
\emph default
) tem de ser um conceito geral (e também lógico),
 pois é a partir dele que será obtida a lei geral mencionada acima (§18)
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Frege escreve:
 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Agora,
 ao considerar os objetos primários da aritmética,
 devemos distinguir entre os números individuais 3,
 4 e assim por diante e o conceito geral de número cardinal.
 Já decidimos em favor da visão que os números individuais são derivados da melhor maneira,
 segundo o procedimento de Leibniz,
 Mill,
 H.
 Grassmann e outros,
 do número um e do aumento de um,
 mas estas definições permanecem incompletas na medida em que o número um e o aumento de um estão indefinidos.
 Vimos também que precisamos de proposições gerais [§§6-7] se temos de derivar fórmulas numéricas destas definições.
 Por causa de sua generalidade,
 tais leis não podem se seguir das definições dos números individuais,
 mas somente do conceito geral de número cardinal
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[§18]{Frege1986}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
É interessante mencionar que esse é realmente o procedimento de Frege.
 A partir da terceira definição de número cardinal,
 Frege prova o Princípio de Hume (a lei geral),
 e a partir deste,
 ele esboça provas dos axiomas da aritmética.
\end_layout

\end_inset

.
 Frege também estabelece implicitamente o resultado que ele considerará como sendo o mais importante de 
\emph on
Grundlagen der Arithmetik
\emph default
,
 a saber,
 que uma atribuição numérica contém uma predicação de um conceito
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Aqui,
 seguimos a tradução de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline{Schirn1996}
\end_layout

\end_inset

.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline[p.
 88]{Dummett1991}
\end_layout

\end_inset

 traduz assim:
 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

o conteúdo de uma atribuição numérica consiste em predicar algo de um conceito
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

 (Cf.
 §22).
 Tal resultado é alcançado através de sua discussão sobre se o número cardinal é uma propriedade de objetos ordinários (objetos exteriores,
 como mesa,
 livro etc).
 Como o próprio Frege diz,
 uma mesma coleção de objetos ordinários pode ter diferentes números.
 O que muda não é a coleção,
 mas sim a nossa maneira de concebê-la
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Frege escreve:
 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Baumann rejeita a posição de que números são conceitos extraídos das coisas externas:
 `A razão é que coisas externas não se apresentam para nós com qualquer unidade estrita;
 elas se apresentam como grupos isolados ou pontos sensíveis,
 mas temos a liberdade para tratar cada uma delas novamente como muitas'.
 É totalmente verdadeiro que,
 enquanto não estou em posição de alterar a cor ou a dureza de uma coisa simplesmente pensando-a de um modo diferente,
 sou capaz de pensar na Ilíada ou como um poema ou como 24 livros ou como um grande número cardinal de versos.
 Os sentidos não são diferentes quando falamos que uma árvore tem mil folhas de quando falamos que a mesma tem folhas verdes?
 Atribuímos a cada folha particular a cor verde,
 mas não lhe atribuímos o número 1000.
 Se chamarmos todas as folhas de uma árvore de sua folhagem,
 então a folhagem é verde,
 mas a folhagem não é 1000.
 A propriedade 1000 pertence ao quê então?
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[§22]{Frege1986}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
 Frege também obtém este mesmo resultado quando considera o número cardinal como sendo uma coleção de unidades (defendida já por Euclides nos 
\emph on
Elementos
\emph default
).
 Segundo Frege,
 tal noção apresenta duas características contraditórias.
 Uma é que todas as unidades são iguais entre si;
 a outra que as mesmas têm de ser distinguidas de alguma forma para se obter o número cardinal
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Como Frege mostra,
 vários matemáticos,
 tentando superar esta dificuldade,
 aproximaram-se de uma visão formalista da matemática,
 tomando os numerais como sendo os próprios números.
 Jevons (ver §§36-8 de 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
),
 por exemplo,
 propõe a seguinte solução,
 a saber,
 tomar todas as unidades como 1 e colocando o sinal 
\emph on
´
\emph default
 para diferenciá-las.
 Assim ,
 três seria 1+1´+1´´.
 Mas,
 também poderia ser:
 1´´´+ 1´´´´´´+1´´´´´´´´´´´´.
 Portanto,
 na versão de Jevons,
 teríamos inúmeros números três.
\end_layout

\end_inset

.
 A concepção acima mencionada,
 a saber,
 que uma atribuição numérica é uma predicação de um conceito,
 unifica,
 na visão de Frege,
 satisfatoriamente as duas características contraditórias acima,
 uma vez que,
 grosso modo,
 um conceito tem um critério de aplicação e,
 portanto,
 o conceito informa a 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

unidade
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 em questão (no caso,
 a unidade são os objetos que caem sob o conceito).
 Por outro lado,
 alguns conceitos (no caso,
 os conceitos sortais
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Discutiremos a noção de um conceito sortal em 
\series bold
3
\series default
.
\end_layout

\end_inset

),
 a princípio,
 têm um critério de identidade que se aplica aos objetos que caem sob ele.
 Dessa forma é possível considerar as 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

unidades
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 do conceito como sendo diferentes
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Quase sempre os conceitos sortais não têm os dois critérios bem definidos.
 Por exemplo,
 tome o conceito de pessoa.
 Este conceito parece ter um bom critério de aplicação,
 uma vez que uma cadeira não é uma pessoa,
 um livro não é uma pessoa,
 em geral,
 é possível distinguir uma coisa que é pessoa de uma outra coisa que não é pessoa.
 Assim temos a nossa 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

unidade
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Contudo,
 o conceito de pessoa não parece ter um bom critério de identidade.
 Quando uma pessoa é a mesma que uma outra e quando ela é diferente?
\end_layout

\end_inset

.
 Assim,
 segundo Frege,
 o conceito (sortal) nos dá a 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

unidade
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e os meios para distinguir estas 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

unidades
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
A segunda parte de 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
 (§§45-109) é considerada positiva,
 uma vez que Frege,
 a partir da sua discussão apresentada nas primeiras seções,
 constrói a sua própria concepção de número e apresenta o esboço de provas de teoremas da aritmética.
\end_layout

\begin_layout Standard
Depois dessa breve discussão dos resultados implicitamente obtidos por Frege na primeira parte,
 apresentaremos e discutiremos ,
 rapidamente,
 a noção de número como objeto defendida por Frege,
 o princípio do contexto e as §§46-83 de 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
.
\end_layout

\begin_layout Subsection

\series bold
Número como objeto
\end_layout

\begin_layout Standard
Como já afirmamos exaustivamente,
 o objetivo de Frege é mostrar que a aritmética dos números naturais é analítica,
 e para isso Frege pretende reduzi-la à lógica.
 Uma questão central para Frege é,
 portanto,
 provar a existência de infinitos números naturais por meios puramente lógicos.
 Nesta prova,
 a concepção de número (cardinal)
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Os números cardinais são,
 segundo Frege,
 os números que dão uma resposta exata para a questão 
\emph on
Quantos objetos existem que são F?
\emph default
,
 ou similarmente 
\emph on
Quantos Fs existem?

\emph default
 (
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 sendo um determinado conceito (sortal) e os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

s,
 os objetos que caem sob 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

).
 É interessante notar a seguinte questão,
 a saber,
 os números naturais são,
 na visão de Frege,
 um subconjunto dos números cardinais e,
 assim,
 eles também são objetos,
 se os números cardinais forem.
\end_layout

\end_inset

 como objeto desempenhará um papel fundamental,
 como veremos quando discutirmos as §§45-83.
 Aqui,
 discutiremos quais são as razões que Frege dá para tal concepção de número (cardinal).
\end_layout

\begin_layout Standard
Já na introdução de 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
,
 Frege afirma que o número 1 se comporta como um objeto,
 uma vez ele tem propriedades que lhe são características (ou seja,
 que nenhum outro número tem).
 Uma dessas propriedades características,
 uma citada por Frege,
 é que o número 1 multiplicado por ele mesmo tem como resultado o próprio 1 (1.1=1).
 Além disso,
 proposições como 
\emph on
existe um número primo par
\emph default
,
 
\emph on
existem números primos entre 0 e 10
\emph default
 parecem dar a impressão que números são objetos,
 uma vez que eles estão no escopo das variáveis objectuais da teoria.
 Podemos traduzir a primeira proposição,
 em notação lógica,
 da seguinte maneira:
 
\emph on

\begin_inset Formula $\exists x$
\end_inset

(Nat(x)&Par(x)&Prim(x))
\emph default
,
 onde 
\emph on
Nat
\emph default
 significa 
\emph on
ser número natural
\emph default
;
 
\emph on
Par
\emph default
 significa 
\emph on
ser par
\emph default
;
 e 
\emph on
Prim
\emph default
,
 
\emph on
ser primo
\emph default
 (as propriedades 
\emph on
ser número natural
\emph default
,
 
\emph on
ser par
\emph default
 e 
\emph on
ser primo
\emph default
 podem também ser definidas).
 Essa parece ter sido uma das razões que fez Frege considerar os números como objetos.
\end_layout

\begin_layout Standard
Há também outras razões para Frege considerar números como objetos.
 Ele,
 em inúmeras passagens,
 defende que os números são objetos apoiando-se em evidências da linguagem,
 a saber,
 que os numerais são antecedidos por artigo definido (§§ 23,
 38,
 57,
 68,
 74) e o artigo definido indica 
\emph on
existência
\emph default
 e 
\emph on
unicidade
\emph default

\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Frege também diz que os numerais nunca são precedidos por artigo indefinido.
 Segundo Frege,
 o artigo indefinido precedendo uma palavra indica o caráter predicativo da mesma.
\end_layout

\end_inset

.
 Além disso,
 numerais ocorrem em sentenças de identidade (por exemplo,
 2+3=5),
 e a relação de identidade é,
 segundo Frege em 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
,
 uma relação de primeira ordem,
 ou seja,
 uma relação sob a qual caem pares de objetos (§57)
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Aqui,
 Frege já considera a igualdade como uma relação entre objetos,
 contudo,
 como tentamos mostrar na seção anterior,
 em 
\emph on
Begriffsschrift
\emph default
 há uma certa ambigüidade nessa relação.
 Talvez,
 ao considerar a necessidade de interpretar a relação de identidade como uma relação de primeira ordem sob a qual caem objetos,
 Frege notou a ambigüidade de sua primeira concepção.
\end_layout

\end_inset

.
 É interessante mencionar que numerais ocorrem em algumas sentenças desempenhando o papel de adjetivo.
 Por exemplo,
 
\emph on
o zoológico tem sete leões
\emph default
.
 Aqui,
 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

sete
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 modifica o substantivo 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

leões
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e,
 portanto,
 é um adjetivo.
 Neste sentido,
 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

sete
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 não parece desempenhar o papel de um objeto,
 mas de uma propriedade (de segunda ordem).
 Frege também considera esta situação.
 Contudo,
 ele irá propor que sempre podemos transformar uma sentença na qual o numeral desempenha o papel de um adjetivo em uma sentença na qual o numeral desempenha o papel de um substantivo.
 Por exemplo,
 a sentença (1) 
\emph on
o zoológico tem sete leões
\emph default
 pode ser decodificada da seguinte maneira:
 (2) 
\emph on
o número de leões no zoológico é sete
\emph default
.
 Aqui,
 Frege argúi,
 a palavra 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

é
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 não funciona como uma cópula;
 ela expressa uma identidade,
 ou seja,
 
\emph on
o número de leões no zoológico é igual a sete
\emph default
.
 Da mesma maneira,
 podemos transformar a sentença (3) 
\emph on
existem sete leões no zoológico
\emph default
 na qual 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

sete
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 parece ser também uma propriedade de segunda ordem,
 uma vez que modifica 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

leões no zoológico
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

,
 na sentença 
\emph on
o número de leões no zoológico é igual a sete
\emph default
.
 Segundo Frege,
 as três sentenças acima expressariam o mesmo conteúdo conceitual.
 Por que Frege favorece a interpretação (2) em detrimento das demais?
 Na §57,
 Frege afirma que nas sentenças da forma (1) e (3),
 o numeral é apenas um elemento do predicado.
 Contudo,
 ele considera que as razões dadas anteriormente em 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
 (por exemplo,
 que os numerais são precedidos pelo artigo definido) já estabelecem a natureza ontológica dos mesmos,
 de maneira que é apenas ilusório que em (1) e (3) números sejam propriedades
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Frege escreve:
 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Na proposição `o número 0 pertence ao conceito F',
 0 é somente um elemento no predicado (tomando o conceito F como sendo o sujeito real).
 Por esta razão evitei chamar um número tal como 0 ou 1 ou 2 de uma propriedade de um conceito...
 Já chamei a atenção acima para o fato de que falamos de `o número 1',
 onde o artigo definido serve para classificá-lo como um objeto
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 (Frege,
 1884,
 §57).
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vale também mencionar que Frege novamente resgata a nomenclatura 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

sujeito
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

predicado
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 que,
 em 
\emph on
Begriffsschrift
\emph default
,
 ele afirma ser irrelevante para sua notação conceitual.
 A utilização dessa nomenclatura está diretamente ligada com as noções de conceito e objeto.
 Um conceito é,
 para Frege em 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
,
 o predicado de uma sentença;
 o objeto é o sujeito da sentença.
 Vale lembrar que isto só é possível em sentenças que expressam um juízo que tem um conteúdo singular (por exemplo,
 Platão é filósofo) ou no caso de uma sentença que expressa uma relação de primeira ordem (por exemplo,
 Platão foi discípulo de Sócrates).
 No caso de uma sentença como 
\emph on
toda baleia é um mamífero
\emph default
,
 o sujeito da relação não é um objeto.
 Na verdade,
 como já dissemos um pouco mais acima,
 isso pode ser traduzido da seguinte maneira:
 para todo objeto x,
 se x é baleia,
 então x é mamífero.
 Assim,
 estamos predicando uma determinada relação entre os conceitos 
\emph on
baleia
\emph default
 e 
\emph on
mamífero
\emph default
,
 a saber,
 que o primeiro conceito é subordinado ao segundo.
 Chateaubriand (2001) interpreta sentenças desse tipo como expressando uma relação entre sujeito e predicado,
 no caso o predicado é a relação de segunda ordem 
\emph on
subordinação
\emph default
 e os sujeitos são 
\emph on
baleia
\emph default
 e 
\emph on
mamífero
\emph default
.
 Frege parece implicitamente admitir isto.
 Por isso a restrição que demos acima que um objeto é o sujeito de uma sentença que expressa um conteúdo individual ou uma relação de primeira ordem;
 caso contrário,
 os conceitos poderiam ser admitidos como objetos,
 posto que eles são os sujeitos de sentenças que expressam uma relação de segunda ordem ou uma propriedade de segunda ordem e isso violaria a terceira cláusula que Frege expressa na introdução de 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
,
 a saber,
 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

nunca perder de vista a distinção entre conceito e objeto
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Há uma série de questões ainda sobre a noção de número como objeto,
 contudo terminamos aqui a discussão sobre este tema neste capítulo.
\end_layout

\begin_layout Subsection

\series bold
O princípio do contexto
\end_layout

\begin_layout Standard
O princípio do contexto é um dos elementos mais controversos de 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
.
 Existem inúmeras interpretações desse princípio na literatura secundária.
 Não é o objetivo dessa subseção tentar formular uma resposta de como deveríamos interpretar este princípio,
 mas apresentar algumas interpretações sugeridas sobre ele.
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege,
 na introdução do livro mencionado acima,
 apresenta,
 pela primeira vez,
 o princípio do contexto,
 a saber,
 (1) 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

nunca perguntar pelo significado
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Frege usa a palavra 
\emph on
Bedeutung
\emph default
 na passagem acima.
 Traduzi esta palavra por significado,
 pois 
\emph on
Bedeutung
\emph default
 não tem aqui ainda o sentido técnico de referência.
\end_layout

\end_inset

 de uma palavra isoladamente,
 mas somente no contexto de uma proposição
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Além desse princípio,
 Frege,
 também na introdução,
 apresenta mais outros dois princípios,
 a saber,
 o já mencionado acima (nunca perder de vista a distinção entre conceito e objeto) e 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

separar precisamente o psicológico do lógico,
 o subjetivo do objetivo
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 À primeira vista,
 estes três princípios parecem ser princípios metodológicos e interdependentes.
 Por exemplo,
 se tomarmos o significado dos numerais isoladamente,
 poderia ser o caso de ligarmos a este significado uma determinada idéia,
 e assim o primeiro princípio seria violado.
 Da mesma maneira,
 se tomarmos o significado de uma expressão no contexto de uma proposição,
 então certamente saberíamos o 
\emph on
status
\emph default
 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

ontológico
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 de tal expressão.
 Por exemplo,
 se a expressão for um sujeito em uma proposição que tem um conteúdo singular,
 então tal expressão significará um objeto.
 Se ela for o predicado de uma tal proposição,
 então ela significará um conceito
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Chateaubriand (2001),
 no capítulo 8,
 afirma que o princípio do contexto está relacionado com a ideia,
 já apresentada acima,
 de que os conteúdos conceituais são as unidades básicas da notação conceitual.
 Sua visão,
 parece,
 é consistente com esta apresentada acima.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Contudo,
 há,
 no decorrer do livro,
 outras formulações que não parecem ser apenas metodológicas.
 Por exemplo,
 na §60,
 Frege diz que (2) 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

é suficiente que uma proposição como um todo tenha um sentido para que seja conferido um conteúdo para as suas partes
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Na §62,
 ele afirma (3) 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

é somente no contexto de uma proposição que as palavras têm significado
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 E na §106,
 lemos o seguinte:
 (4) 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

estabelecemos o princípio segundo o qual o significado de uma palavra tem de ser explicado não isoladamente,
 mas no contexto de uma proposição
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 A formulação (2) parece ser uma formulação ontológica,
 posto que é uma condição para a existência dos conteúdos das partes da proposição.
 A formulação (3),
 no contexto da §62,
 parece ser uma formulação epistemológica,
 uma vez que Frege pergunta como os números que são objetos não-intuitivos (não estão no tempo nem no espaço),
 podem ser dados a nós.
 Ele diz,
 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

uma vez que é somente no contexto de uma proposição que as palavras têm sentido
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

,
 basta 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

definir o sentido de uma proposição na qual um numeral ocorre
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 A formulação (4) parece ser uma repetição da formulação (1).
\end_layout

\begin_layout Standard
Por outro lado,
 poderíamos interpretar a formulação (3) como sendo ontológica,
 uma vez que na §62 Frege fixa o sentido dos numerais em proposições de identidade,
 portanto os numerais significam objetos (posto que a relação de identidade é uma de primeira ordem,
 segundo Frege).
 A formulação (2) é ambígua,
 uma vez que a noção de conteúdo,
 em 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
,
 é uma noção que mistura a de sentido e a de referência que são separadas somente após este livro (em 
\emph on
Über Sinn und Bedeutung
\emph default
).
 Portanto,
 poderíamos interpretar o princípio do contexto em (2) (segundo a distinção entre sentido e referência) como expressando o seguinte:
 (2´) se uma proposição como um todo tem sentido,
 então as suas partes constituintes têm um sentido;
 ou,
 então,
 (2´´) se uma proposição como um todo tem sentido,
 então suas partes constituintes têm referência.
 (2´´) é falsa.
 Uma proposição como 
\emph on
Odisseu foi deixado adormecido em Ítaca
\emph default
 tem um sentido,
 mas o nome 
\emph on
Odisseu
\emph default
 não tem referência (apesar de ter um sentido)
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Na verdade a palavra 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

sentido
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 (
\emph on
Sinn
\emph default
) em (2) também não tem o sentido técnico que Frege apresentará posteriormente.
 Em 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
,
 Frege usa as palavras conteúdo e sentido como sendo sinônimas.
 Portanto,
 poderíamos dividir o princípio do contexto em (2) em quatro princípios,
 a saber,
 os dois já dados acima (em termos de 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

sentido
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

);
 e em (2´´´) se uma proposição tem referência,
 então suas partes têm referência;
 e,
 também,
 (2´´´´) se uma proposição tem referência,
 então suas partes têm sentido.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dada essa série de interpretações do princípio do contexto,
 é difícil chegarmos a um denominador comum.
 Mas,
 vale ressaltar uma interpretação que nos parece errada,
 a saber,
 que o objetivo do princípio do contexto é legitimar definições contextuais (um dos defensores de tal idéia é Sluga (1980))
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Mas há algo estranho e perturbador sobre a definição de números em termos de extensões de conceitos no contexto geral do pensamento de Frege.
 Originalmente ele raciocinou que os números,
 como objetos lógicos,
 tinham de ser definidos contextualmente.
 Presumivelmente,
 foi por esta razão que ele intitulou a seção relevante do livro:
 `Para obter o conceito de número cardinal,
 devemos fixar o sentido de uma identidade numérica' (F,
 p.
 73).
 Mas a conclusão desta seção foi que a definição que preenchia esta condição não poderia ser legitimamente adotada
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 (Sluga,
 1980,
 127).
\end_layout

\end_inset

.
 Essa interpretação nos parece errada porque Frege rejeita as duas definições contextuais que ele apresenta na §55 e §62 (como Sluga diz),
 mas,
 na §106,
 Frege reafirma o princípio do contexto como uma das suas máximas e isso nos leva a acreditar que tal princípio desempenha um papel relevante em 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
 que não é o de legitimar definições contextuais
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Como o próprio Sluga diz,
 se fosse o caso no qual o papel do princípio do contexto é o de legitimar definições contextuais,
 então a passagem na §106 contradiria o próprio procedimento de Frege em 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik.
\end_layout

\end_inset

.
 Mas qual é esse papel?
 Dummett (1991,
 capítulo 16,
 pág.
 201-2) diz que o princípio do contexto funciona como um guia para formular uma definição correta de número cardinal.
 Em outras palavras,
 Dummett está dizendo que para uma definição de número ser correta,
 deveríamos derivar da mesma um critério de identidade de número.
 Como dissemos acima,
 Frege parece sugerir na §18 que é necessário um conceito geral de número cardinal,
 a partir do qual derivaríamos uma lei geral e a partir dessa poderíamos provar as proposições da aritmética junto com as definições individuais dos números.
 Isto parece ser consistente com a posição de Dummett.
 Uma vez que Frege deduz da definição direta de número cardinal o Princípio de Hume que é um critério de identidade de números,
 isto mostra então que a definição direta é uma definição correta (escrevemos 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

uma
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

,
 porque poderia existir mais de uma) e que o Princípio de Hume é a lei geral a partir da qual as demais proposições da aritmética são deduzidas.
 Na § 107,
 Frege escreve:
\end_layout

\begin_layout Quote
Nesta definição,
 o sentido da expressão `extensão de um conceito' é assumido como sendo conhecido.
 Esta maneira de superar a dificuldade não pode ser considerada como tendo uma aprovação universal,
 e muitos irão preferir outros métodos para remover as dúvidas em questão.
 Não atribuo nenhuma importância decisiva ao empregar extensões de conceito 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[§107]{Frege1986}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Assim,
 o que parece importante para Frege,
 em 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
,
 é o Princípio de Hume (que é derivado da definição direta).
 Frege parece escolher as extensões de conceito,
 porque elas são consideradas amplamente na lógica.
 Assim,
 uma vez que o Princípio de Hume é derivado de uma definição lógica,
 ele também é lógico.
 Mas,
 a passagem acima parece sugerir que se de uma outra definição (lógica) também é derivado o Princípio de Hume,
 então esta definição é igualmente correta (creio que Dummett concordaria com isso).
 Contudo,
 como dissemos,
 não é a pretensão dessa subseção chegar a uma resposta definitiva sobre o princípio do contexto.
 Terminamos aqui nossa discussão sobre o assunto.
 Em 
\series bold
3
\series default
,
 discutiremos o princípio do contexto novamente,
 mas na luz da interpretação de Wright.
\end_layout

\begin_layout Subsection

\series bold
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
 §§45-83
\end_layout

\begin_layout Standard
O objetivo dessa subseção é expor sucintamente as ideias apresentadas por Frege nas §§45-83.
 Em particular,
 é nosso interesse tocar no 
\emph on
Problema de Júlio César
\emph default
.
 Além disso,
 mostraremos como as definições apresentadas em 
\emph on
Begriffsschrift
\emph default
 desempenharão um papel importante nas definições apresentadas por Frege em 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
,
 em particular,
 nas definições de número natural e correspondência 1-1.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como dissemos acima,
 Frege,
 implicitamente,
 nas §§18-44,
 sustenta a posição segundo a qual uma atribuição numérica é uma predicação de um conceito.
 Frege chega a esta conclusão examinando e refutando algumas tentativas de definir o conceito de número (a tentativa de definir número como propriedades de objetos externos e a tentativa de definir número como uma coleção de unidades).
 Na §46,
 Frege afirma explicitamente esta posição:
\end_layout

\begin_layout Quote
Ao olhar para o mesmo fenômeno externo,
 posso dizer com igual direito que `é um grupo de árvores' e `são cinco árvores',
 ou que `aqui temos quatro companhias' e `aqui temos 500 homens'.
 Agora,
 o que muda de um juízo para o outro não é qualquer um dos objetos individuais,
 nem a totalidade,
 nem a aglomeração desses objetos,
 mas sim minha terminologia.
 Mas isto é em si somente um sinal que um conceito foi substituído por outro.
 Isto sugere como uma resposta à primeira questão deixada em aberto no último parágrafo que o conteúdo de uma atribuição numérica é uma predicação de um conceito.
 (Frege,
 1884,
 §46).
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege assume que o conteúdo de uma atribuição numérica é uma atribuição de uma propriedade de segunda ordem,
 a saber,
 
\emph on
ser instanciada por x objetos
\emph default
 (onde 
\emph on
x
\emph default
 denota um numeral),
 a conceitos de primeira ordem.
 Por exemplo,
 tome a proposição,
 
\emph on
o zoológico tem sete leões
\emph default
.
 Aqui,
 temos o conceito 
\emph on
leões no zoológico
\emph default
 caindo sob a propriedade de segunda ordem 
\emph on
ser instanciado por sete objetos
\emph default
.
 Seguindo esta sugestão,
 Frege então apresenta a sua primeira definição de números naturais,
 a saber
\end_layout

\begin_layout Enumerate
o número 0 pertence a um conceito 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

,
 se nenhum objeto cai sob 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

.
 Ou seja,
 0 seria a propriedade de segunda ordem sob a qual caem conceitos que não são instanciados por quaisquer objetos (em símbolos 
\emph on

\begin_inset Formula $N^{0}xF(x)=_{df}\neg\exists xF(x)$
\end_inset


\emph default
,
 onde 
\emph on

\begin_inset Formula $N^{0}xF(x)$
\end_inset


\emph default
 significa 
\emph on
o número zero pertence ao conceito 
\emph default

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Enumerate
o número 1 pertence a um conceito 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

,
 se existe um e somente um objeto que cai sob 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

.
 Ou seja,
 1 é a propriedade de segunda ordem sob a qual caem conceitos que são instanciados por um e somente um objeto (em símbolos,
 
\emph on

\begin_inset Formula $N^{1}xF(x)=_{df}\exists_{1}xF(x)$
\end_inset


\emph default
,
 ou seja,
 
\emph on

\begin_inset Formula $\exists x(F(x)\wedge\forall y(F(y)\supset y=x))$
\end_inset


\emph default
,
 onde 
\emph on

\begin_inset Formula $N^{1}xF(x)$
\end_inset


\emph default
 significa 
\emph on
o número um pertence ao conceito 
\emph default

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege também mostra como poderíamos obter os demais números indutivamente:
 o número 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n+1$
\end_layout

\end_inset

 pertence a um conceito 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

,
 se existe um objeto 
\emph on

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset


\emph default
 que cai sob 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 tal que o número 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

 pertence ao conceito `cair sob 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

,
 mas não ser 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

' (em símbolos,
 
\emph on

\begin_inset Formula $N^{n+1}xF(x)=_{df}\exists x(F(x)\wedge\exists_{n}y(Fy\wedge y\neq x))$
\end_inset


\emph default
.
 Isto é,
 dadas as definições de zero e um e a definição indutiva (acima),
 obtemos os números 
\emph on

\begin_inset Formula $N^{2}xF(x)$
\end_inset


\emph default
 ,
 
\emph on

\begin_inset Formula $N^{3}xF(x)$
\end_inset

,

\emph default
 etc.
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Aqui,
 Frege está seguindo a sugestão de Leibniz para definir os números individuais.
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
É interessante mencionar que a definição indutiva pode ser transformada em uma definição de sucessor ou predecessor que teria de ser dada em terceira ordem,
 uma vez que os números são definidos como conceitos de segunda ordem,
 da seguinte maneira:
 
\emph on

\begin_inset Formula $Pred_{\Phi}[Mx\Phi(x),Nx\Phi(x)]=_{df}\ \forall F[NxFx\equiv\exists y(Fy\wedge Mx(Fx\wedge y\neq x))]$
\end_inset


\emph default
,
 ou seja,
 o conceito numérico de segunda ordem 
\begin_inset Formula $Mx\ldots x\ldots$
\end_inset

 é o predecessor do conceito numérico de segunda ordem 
\begin_inset Formula $Nx\ldots x\ldots$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Todavia,
 Frege rejeita a sua primeira definição de número,
 dando-nos os seguintes argumentos:
 (1) não podemos decidir se o número Júlio César pertence a um conceito 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

,
 e se Júlio César é um número ou não;
 (2) não é possível a partir das definições acima provar fórmulas numéricas simples,
 uma vez que a identidade é um conceito de primeira ordem.
\end_layout

\begin_layout Standard
A primeira crítica é estranha,
 se considerarmos que Frege realmente está tomando os números como conceitos de segunda ordem.
 Se isto fosse o caso,
 então a sua crítica não teria sentido,
 uma vez que,
 segundo a sua própria diretriz,
 conceitos são entidades distintas de objetos.
 Em particular,
 números (como conceitos de segunda ordem) são distintos de Júlio César e,
 portanto,
 Júlio César não seria número (sendo um conceito de segunda ordem).
 Como Frege diz,
 e já foi citado acima,
 é apenas aparente que números foram definidos como propriedades de um conceito (§57).
 Os numerais ocorrem,
 segundo Frege,
 como parte do predicado.
 Na verdade,
 ele mesmo diz,
 o que foi fixado é o sentido da expressão `o número 0 pertence a' e `o número 1 pertence a' (ou seja,
 os conceitos de segunda ordem 
\emph on

\begin_inset Formula $N^{0}x\Phi(x)$
\end_inset


\emph default
 e 
\emph on

\begin_inset Formula $N^{1}x\Phi(x)$
\end_inset


\emph default
,
 respectivamente).
 Isto parece significar que as razões apresentadas nas seções anteriores à §55 (e retificadas nas §§56-9) de 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
 já estabeleceram que os números são objetos.
\end_layout

\begin_layout Standard
A segunda crítica pressupõe também a natureza ontológica de números como objetos.
 Como Frege diz,
 não é possível provar das proposições 
\emph on
o número a pertence ao conceito F
\emph default
 e 
\emph on
o número b pertence ao conceito F
\emph default
 que 
\emph on
a=b
\emph default
 (ou seja,
 números devem ocorrer em proposições que expressam uma identidade).
 Contudo,
 essa crítica não é tão forte.
 Como 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline{Heck1997a}
\end_layout

\end_inset

 afirma,
 é possível provar que nenhum conceito de primeira ordem cai sob dois conceitos numéricos diferentes,
 de maneira que a coextensividade poderia ser dada como um critério de identidade (em terceira ordem) para números (sendo conceitos de segunda ordem).
 Para exemplificar,
 tome as definições de 0 e 1 (como conceitos de segunda ordem dados acima).
 Se admitirmos que um conceito F cai sob 0 e 1 (ou como Frege escreveu,
 os números 0 e 1 pertencem ao conceito F),
 então estamos admitindo,
 ao mesmo tempo,
 que F não é instanciado por nenhum objeto e que ele é instanciado por um objeto.
 Ou seja,
 admitir que um conceito F cai sob dois conceitos numéricos diferentes é uma contradição.
 Portanto,
 todos os conceitos numéricos serão disjuntos,
 isto é,
 eles não têm elementos em comum (no caso,
 conceitos de primeira ordem).
 Assim,
 se dois conceitos numéricos são coextensivos,
 então eles são um e o mesmo conceito numérico.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline{Dummett1991}
\end_layout

\end_inset

 aponta uma outra razão porque os números definidos como conceitos de segunda ordem não são suficientes para os propósitos de Frege,
 a saber,
 não seria possível provar a infinidade de números naturais.
 Como veremos mais adiante,
 a conclusão de Frege de que existem infinitos números naturais é dada como uma conseqüência imediata das seguintes proposições:
 (1) que a relação de sucessor é uma função e que a sua inversa é também uma função (estes dois resultados juntos afirmam que a relação de sucessor é uma função 1-1);
 (2) que zero não é o sucessor de nenhum número;
 e (3) que todo número tem um sucessor
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Note que aqui há alguma similaridade com a noção definida por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline{Dedekind1963}
\end_layout

\end_inset

 na §71 (definição de um sistema simplesmente infinito).
 O problema é que Dedekind não provou a existência de tal sistema,
 apenas o definiu.
 Por isso o passo crucial na §66,
 onde ele prova a existência de um sistema infinito,
 uma vez que a existência de um sistema simplesmente infinito é provada a partir de um sistema infinito (na §72).
\end_layout

\end_inset

.
 Contudo,
 se números são conceitos de segunda ordem,
 então a terceira proposição só poderia ser provada se admitíssemos a existência de infinitos objetos não lógicos (como fizeram Russell e Whitehead em 
\emph on
Principia Mathematica
\emph default
 (1910)).
 Vale mencionar também a seguinte questão:
 se tomarmos a relação de sucessor como uma de segunda ordem (como na nota 112),
 então a primeira proposição também não seria provada.
 Assuma que o universo só tem um único objeto,
 por exemplo,
 {Alessandro}.
 Podemos mostrar que existe um conceito que cai sob 0 (como conceito de segunda ordem),
 a saber,
 a autodiversidade (ser diferente de si mesmo);
 também teremos conceitos que caem sob 1,
 a saber,
 
\emph on
ser igual a Alessandro
\emph default
 e 
\emph on
ser igual a si mesmo
\emph default
.
 Mas,
 não teremos nenhum conceito que caia sob 2,
 3,
 4,....
 Isto significa que 2,
 3,
 4,...
 são todos vazios,
 e assim é possível mostrar que 1,
 2,
 3,...
 têm o mesmo sucessor,
 a saber,
 a classe vazia (ou seja,
 números diferentes podem ter o mesmo sucessor).
 Novamente,
 é bloqueada a conclusão de Frege de que existem infinitos números naturais
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Se olharmos mais de perto,
 veremos que ambas conclusões acima são quase equivalentes.
 Para mostrarmos que 2 é o único sucessor de 1,
 temos de admitir a existência de 2 objetos.
 Mas para provarmos que 3 é o único sucessor de 2,
 temos de admitir a existência de 3 objetos,
 e assim por diante.
 Russell e Whitehead também apresentam como um axioma do infinito o seguinte:
 a classe vazia não é um número natural.
 Há alguma discussão sobre esta questão em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
citeonline{Boolos1998}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nas §§60-1,
 Frege prepara o terreno para a sua segunda tentativa de definição de número cardinal.
 A discussão lá é se os objetos têm de ser concretos,
 ou podem existir objetos que não estão nem no tempo,
 nem no espaço
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Dar coordenadas espaciais para o número 4 não faz sentido;
 mas a única conclusão que pode ser esboçada é que ele não é um objeto espacial,
 não que ele não seja um objeto
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[§61]{Frege1986}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Vale lembrar que,
 para Frege,
 as ideias também são entidades que não estão nem no tempo,
 nem no espaço,
 contudo Frege afirma que elas não são objetivas.
\end_layout

\end_inset

.
 Frege se decidirá pela segunda opção.
 Poderíamos entender estes dois parágrafos como uma tentativa de dar uma resposta para uma possível objeção Kantiana ao logicismo de Frege
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Pelo menos esta parece ser a ideia que Frege tem em mente.
 Veja §§12-3 de 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
.
\end_layout

\end_inset

,
 a saber,
 uma vez que objetos são dados a nós somente através da sensibilidade,
 e uma vez que números são objetos,
 então números são dados a nós também pela sensibilidade (ou seja,
 a aritmética dependeria da intuição e não seria analítica).
 O objetivo de Frege nas §§60-1 é tentar mostrar que a primeira premissa é falsa,
 isto quer dizer que,
 para Frege,
 nem todo objeto é dado a nós pela sensibilidade
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Ou,
 então,
 contra a seguinte argumentação:
 uma vez que (1) objetos são dados a nós na intuição,
 e (2) números não são intuitivos,
 então números não são objetos.
 O ponto de Frege é mostrar que (1) não é verdadeira.
\end_layout

\end_inset

.
 Frege recorre então ao seu princípio do contexto.
 Ele diz:
\end_layout

\begin_layout Quote
Que podemos formar nenhuma idéia de seu conteúdo não é razão para negar qualquer significado a uma palavra ou para exclui-la de nosso vocabulário.
 De fato,
 somente nos é imposto a visão contrária porque,
 ao perguntar pelo sentido de uma palavra,
 consideramo-la isoladamente,
 e isto nos leva a aceitar uma idéia como o seu significado.
 De acordo com isso,
 qualquer palavra para a qual não podemos encontrar qualquer descrição mental correspondente não parece ter conteúdo.
 Mas,
 deveríamos manter sempre diante de nossos olhos uma proposição completa.
 Somente em uma proposição as palavras têm,
 na verdade,
 um significado 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[§60]{Frege1986}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nas§§60-1,
 é sugerida a seguinte interpretação:
 se uma palavra para a qual não temos qualquer idéia pode ser usada em proposições que expressam um sentido (conteúdo),
 então esta palavra tem também um conteúdo.
 E se esta palavra é o sujeito de uma proposição que expressa um conteúdo singular ou uma relação de primeira ordem,
 então tal palavra irá significar um objeto.
 Os numerais aparecem como sujeitos de proposições que expressam uma relação de primeira ordem (igualdade),
 portanto eles significam objetos (os números)
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

A auto-subsistência que estou reivindicando para o número não tem de ser tomada como dizendo que um numeral significa algo quando removido do contexto de uma proposição,
 mas somente excluir o uso de tais palavras como predicados ou atributos,
 o que altera apreciavelmente seu significado
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 (Frege,
 1884,
 §61).
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Geralmente é dito que Frege defende,
 em 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
,
 uma visão Platônica em relação à aritmética,
 posto que ele diz em inúmeras passagens deste livro que os números são objetos auto-subsistentes,
 independentes de nós.
 Entretanto,
 a passagem da nota acima mostra que Frege ainda não está tomando uma posição totalmente Platônica.
 A auto-subsistência dos números é assumida somente no contexto de uma proposição.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege apresenta,
 nas §62-67,
 a sua segunda definição de número cardinal.
 Uma vez que,
 segundo Frege,
 números são objetos,
 a definição tem de dar conta de seu caráter 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

ontológico
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Frege propõe então definir o sentido de uma proposição na qual numerais ocorrem significando objetos.
 Frege escolhe a proposição que expressa a relação de identidade entre números (pelas razões discutidas acima).
 Assim,
 Frege tem de definir o sentido da proposição
\end_layout

\begin_layout Standard

\emph on
O número que pertence ao conceito F é igual ao número que pertence ao conceito G
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege,
 citando Hume,
 propõe então que o sentido da proposição acima pode ser definido como expressando a existência de uma correspondência 1-1 entre as coisas que são F e as coisas que são G (§63).
\end_layout

\begin_layout Standard
Na §63,
 tem-se uma passagem bastante interessante
\end_layout

\begin_layout Quote
Não é somente entre os números que a relação de identidade é encontrada.
 Parece se seguir disto que não deveríamos defini-la especialmente para o caso de números.
 Deveríamos esperar que o conceito de identidade fosse fixado primeiro,
 e então,
 a partir dele com o conceito de número cardinal,
 deveria ser possível deduzir quando os números cardinais são idênticos uns com os outros,
 sem precisar,
 para este propósito,
 de uma definição especial de identidade numérica também.
 (Frege,
 1884,
 §63).
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Como a passagem acima diz,
 ao invés de definir uma igualdade numérica,
 deveríamos definir o sentido do conceito de identidade e juntamente com o conceito de número cardinal deduzir a identidade numérica.
 O problema é que o conceito de número cardinal ainda não foi fixado (como o próprio Frege diz).
 Além disso,
 não é óbvio como definir uma relação de identidade.
 Frege então propõe:
\end_layout

\begin_layout Quote
Nosso objetivo é construir o conteúdo de um juízo que pode ser tomado como uma identidade tal que cada lado dela é um número.
 Portanto,
 estamos propondo não definir a identidade especialmente para este caso,
 mas usar o conceito de identidade,
 tomado como já conhecido como um meio de alcançar aquilo que tem de ser considerado como sendo idêntico.
 (Frege,
 1884,
 §63).
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege,
 ao explicar este tipo de definição,
 usa um exemplo da geometria (§64).
 Ele afirma que o juízo 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

a reta 
\emph on
a
\emph default
 é paralela à reta 
\emph on
b
\emph default

\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 pode ser transformado em uma identidade no sentido estrito,
 a saber,
 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

a direção da reta 
\emph on
a
\emph default
 é igual à direção da reta 
\emph on
b
\emph default

\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 A relação de paralelismo é uma relação de equivalência,
 ou seja,
 ela é reflexiva,
 transitiva e simétrica.
 A relação de identidade também é uma relação de equivalência.
 E isto parece ser crucial para a passagem da relação de paralelismo de retas para identidade de direção de retas.
 Segundo Frege,
 o conteúdo do juízo 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

a reta 
\emph on
a
\emph default
 é paralela à reta 
\emph on
b
\emph default

\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 é 
\emph on
reformulado
\emph default
 (
\emph on
zerspalten
\emph default
 (alemão),
 
\emph on
carve up
\emph default
 (inglês)) de uma maneira diferente e assim é obtido um novo conceito (o conceito de direção).
 Frege,
 aqui,
 parece estar dizendo algo próximo do que ele disse em 
\emph on
Begriffsschrift
\emph default
,
 a saber,
 que um mesmo conteúdo conceitual pode ser expresso de várias maneiras diferentes.
 Em última análise,
 Frege parece propor que a proposição 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

a reta 
\emph on
a
\emph default
 é paralela à reta 
\emph on
b
\emph default

\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 expressa o mesmo conteúdo conceitual que a proposição 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

a direção da reta 
\emph on
a
\emph default
 é igual à direção da reta 
\emph on
b
\emph default

\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Aqui há um problema.
 Frege,
 depois de 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
,
 dividiu o conteúdo conceitual em sentido e referência.
 Assim,
 as duas proposições acima expressam o mesmo sentido ou a mesma referência?
 Em termos de referência,
 as coisas se complicam,
 uma vez que todas as proposições verdadeiras têm a mesma referência,
 o objeto o Verdadeiro (todas as proposições falsas se referem ao Falso).
 Em termos de sentido,
 uma resposta também não é clara,
 se assumirmos a tese da composicionalidade,
 ou seja,
 o sentido de uma proposição é uma função dos sentidos de suas partes.
 Assim,
 parece que a proposição 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

a direção da reta a é igual à direção da reta b
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 não expressa o mesmo sentido que a proposição 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

a reta a é paralela à reta b
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 É interessante mencionar que a Lei Básica V tem esse mesmo problema.
 Frege irá dizer,
 implicitamente,
 em 
\emph on
Funktion und Begriff
\emph default
,
 que os dois lados da Lei Básica V expressam o mesmo sentido (assumindo a sua auto-evidência).
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Frege não diz qual é o conteúdo que ambas as proposições expressam,
 mas poderíamos supor que ele toma que ambas as proposições expressam uma relação de equivalência em relação às entidades relevantes.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
O Princípio de Hume pode ser visto da mesma maneira.
 Seguindo a análise de Frege,
 poderíamos 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

reformular
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 o conteúdo expresso pela proposição 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

existe uma correspondência 1-1 entre os Fs e os Gs
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 de uma maneira diferente,
 obtendo um novo conceito,
 o conceito de número cardinal (a relação de equinumerosidade,
 que é uma relação de equivalência para conceitos (sortais) de primeira ordem,
 é transformada em uma relação de identidade entre os números cardinais que pertencem a estes conceitos).
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege também defende que a relação de paralelismo tem uma prioridade epistêmica.
 É comum explicarmos o conceito de paralelismo invocando o conceito de direção,
 a saber,
 duas retas são paralelas se elas têm a mesma direção.
 Contudo,
 a geometria é,
 para Frege,
 um conhecimento intuitivo (a geometria é,
 para Frege,
 sintética 
\emph on
a priori
\emph default
).
 Uma vez que direções são objetos abstratos (ou seja,
 objetos não-intuitivos),
 então devemos explicar as direções indiretamente via retas que são intuitivas.
 O mesmo poderia ser dito do Princípio de Hume,
 ou seja,
 a relação de equinumerosidade tem uma prioridade epistêmica sobre a identidade de números cardinais (posto que a relação de equinumerosidade pode ser expressa somente por vocabulário lógico).
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege apresenta (§65-67) então três possíveis objeções à sua segunda definição,
 sendo as duas primeiras
\end_layout

\begin_layout Quote
Esta definição foge,
 de certa forma,
 da prática normal,
 uma vez que ela serve ostensivamente para adaptar a relação de identidade,
 tomada como já conhecida,
 a um caso especial,
 enquanto,
 na realidade,
 ela é designada a introduzir a expressão 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

a direção da reta a
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 que somente ocorre acidentalmente.
 E isto dá origem a uma segunda dúvida:
 não estaríamos propensos,
 ao usar tais métodos,
 a entrar em conflito com as leis bem conhecidas de identidade?
 Vamos ver quais são estas leis.
 Como verdades analíticas,
 elas seriam derivadas do próprio conceito.
 Agora,
 a definição de Leibniz é como se segue:
\end_layout

\begin_layout Quote
`Coisas que são idênticas entre si podem ser substituídas umas pela outras sem perda de verdade'.
\end_layout

\begin_layout Quote
Eu proponho isto como sendo minha própria definição de identidade.
 (Frege,
 1884,
 §65).
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Estas duas objeções são,
 para Frege,
 mal colocadas
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Não discutiremos os argumentos de Frege para responder a estas duas objeções.
\end_layout

\end_inset

.
 Contudo,
 a terceira objeção é a crucial.
 Frege escreve:
\end_layout

\begin_layout Quote
Mas,
 há ainda uma terceira dúvida que pode nos fazer suspeitar da definição proposta.
 Na proposição
\end_layout

\begin_layout Quote
`a direção de a é idêntica à direção de b'
\end_layout

\begin_layout Quote
a direção de a desempenha o papel de um objeto,
 e nossa definição nos permite um meio de reconhecer este objeto como o mesmo novamente,
 no caso deste objeto aparecer repentinamente de alguma outra forma,
 por exemplo,
 como a direção de b.
 Mas,
 este meio não é suficiente para todos os casos.
 Por exemplo,
 ele não decidirá para nós se a Inglaterra é a mesma que a direção do eixo da Terra - se eu posso ser desculpado pelo exemplo que parece ser sem sentido.
 Naturalmente,
 ninguém confundirá a Inglaterra com a direção do eixo da Terra,
 mas isto não ocorre graças à nossa definição de direção.
 (Frege,
 1884,
 §66).
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Aqui,
 estamos diante do 
\emph on
Problema de Júlio César
\emph default
.
 Como Frege disse na §63,
 a relação de identidade é uma relação sob a qual caem objetos (em geral).
 Portanto,
 poderíamos perguntar sempre se dois objetos são os mesmos ou não.
 Em particular,
 uma vez que as direções são objetos (ocorrem como sujeitos de uma relação de identidade),
 poderíamos perguntar se a direção de uma reta 
\emph on
a
\emph default
 (existente) é igual à Inglaterra.
 O problema é que a definição de direção só nos dá meios de distinguir quando duas direções são iguais ou não.
 Dada a sentença 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

a direção da reta a é idêntica a q
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 (onde q é uma variável objectual),
 ela só terá uma resposta afirmativa ou negativa se 
\emph on
q
\emph default
 tiver,
 por exemplo,
 a forma 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

a direção da reta b
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 ou 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

a direção do eixo da Terra
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
O problema da definição do conceito de direção pode ser transportado para o Princípio de Hume,
 ou seja,
 não podemos decidir se Júlio César ou qualquer outro objeto (até mesmo a direção de uma reta 
\emph on
a
\emph default
) é igual ao número 0 (ou a qualquer outro número) ou não.
 O Princípio de Hume só pode decidir proposições da forma:
 o número que pertence ao conceito F é igual ao número que pertence ao conceito G.
\end_layout

\begin_layout Standard
Agora,
 chegamos a um ponto crucial.
 Como dissemos acima,
 Frege defende na §46 que uma atribuição numérica é uma predicação de um conceito.
 Também dissemos que Frege chegou a essa conclusão ao considerar e refutar a definição de número (cardinal) como propriedade de objetos externos e a definição de número (cardinal) como conjunto de unidades.
 Em relação à última definição,
 Frege critica a idéia de que as unidades são idênticas entre si,
 mas são,
 de alguma forma,
 distintas umas das outras.
 A sua tese segundo a qual uma atribuição numérica é uma predicação de um conceito parece unificar estas duas características contraditórias.
 Por um lado,
 conceito apresenta a unidade (ou seja,
 o conceito tem um critério de aplicação) e,
 por outro lado,
 temos uma relação de identidade entre as coisas que caem sob o conceito
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Somente um conceito,
 que isola o que cai sob ele de uma forma definida e que não permite qualquer divisão arbitrária dele em partes,
 pode ser uma unidade relativa a um número cardinal finito.
 Será notado aqui,
 entretanto,
 que indivisibilidade tem um significado específico.
 Podemos agora facilmente resolver o problema de reconciliar a identidade de unidades com sua distinguibilidade.
 A palavra `unidade' esta sendo usada aqui em um duplo sentido.
 As unidades são idênticas se a palavra tem o sentido justamente explicado.
 Na proposição `Júpiter tem quatro luas',
 a unidade é `lua de Júpiter'.
 Sob este conceito cai a lua I,
 e da mesma maneira cai também a lua II e a lua III e finalmente a lua IV.
 Assim,
 podemos dizer:
 a unidade para a qual I se relaciona é idêntica à unidade para a qual II se relaciona,
 e assim por diante.
 Isto nos dá nossa identidade.
 Mas quando afirmamos a distinguibilidade das unidades,
 entendemos que as coisas numeradas são distinguíveis
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 (Frege,
 1884,
 §54).
\end_layout

\end_inset

.
 O Princípio de Hume e o Princípio de Direção são critérios de identidades para os números cardinais e as direções,
 respectivamente.
\end_layout

\begin_layout Standard
O problema é que não temos um critério de aplicação para os conceitos 
\emph on
número cardinal
\emph default
 e 
\emph on
direção
\emph default
 (devido ao seu caráter abstrato).
 Em particular,
 não podemos dizer se Júlio César é um número.
 Sabemos que Júlio César não é um livro,
 assumindo que os conceitos 
\emph on
pessoa
\emph default
 e 
\emph on
livro
\emph default
 têm um critério de aplicação razoável
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Em última análise,
 poderíamos dar um critério de aplicação ostensivamente,
 ou seja,
 apontado para o objeto e dizendo 
\emph on
isto é um F
\emph default
.
\end_layout

\end_inset

.
 Portanto,
 podemos dividir a tese colocada aqui em duas:
 (1) quando dois objetos que são F são iguais ou não?
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Aqui temos uma diferença quantitativa.
\end_layout

\end_inset

.
 Por exemplo,
 quando Júlio César e Brutus,
 que são pessoas,
 são iguais ou não?
 (2) E quando um objeto que é F é igual a um outro objeto que é G?
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Aqui temos uma diferença qualitativa.
\end_layout

\end_inset

.
 Por exemplo,
 quando o livro que está em cima da minha mesa que é um livro é igual ou não a Júlio César que é uma pessoa?
 A primeira questão será respondida,
 se for possível,
 apelando-se a um critério de identidade válido para os objetos que caem sob o conceito (no exemplo,
 
\emph on
ser uma pessoa
\emph default
).
 A segunda questão é respondida apelando-se ao critério de aplicação.
 Júlio César não é um livro e todo livro particular não é uma pessoa
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Aristóteles também tem uma opinião semelhante:
 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Costumamos falar de 'mesmo' com respeito ao número ou com respeito à espécie ...
 Com respeito ao número,
 são um aquelas coisas cuja matéria é única...
 Com respeito à espécie,
 são o mesmo,
 coisas que são muitas,
 sendo,
 contudo,
 indiferenciáveis quanto à espécie como,
 por exemplo,
 homem e homem ou cavalo e cavalo.
 É que todas as coisas que caem sob a mesma espécie são ditas ser o mesmo no que toca à espécie
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 (Aristóteles,
 Tópicos,
 103a8s).
 Cf.
 Metafísica 1016b32s.
\end_layout

\end_inset

.
 Também podemos questionar quando o número que pertence a F e o número que pertence a G que são números cardinais são os mesmos ou não.
 A resposta é:
 o número que pertence a F é igual ao número que pertence a G quando existe uma correspondência 1-1 entre os Fs e os Gs (Princípio de Hume).
 Por outro lado,
 se questionarmos quando um número que pertence a F que é um número cardinal é o mesmo que Júlio César que é uma pessoa,
 não chegaremos a nenhuma conclusão.
 O conceito de número cardinal,
 dado pelo Princípio de Hume,
 não parece ter um critério de aplicação
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Vendo que não podemos por estes métodos obter qualquer conceito de direção com limites precisos a sua aplicação e,
 portanto,
 pelas mesmas razões,
 nem a qualquer conceito satisfatório de número cardinal também,
 vamos tentar uma outra maneira
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 (Frege,
 1884,
 §68).
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege tem de dar um relato de ou assumir um critério de aplicação do conceito de número cardinal se ele pretende executar seu programa logicista.
 (Isto porque Frege prova que existem infinitos números naturais assumindo que os próprios números podem ser contados,
 ou seja,
 o conceito 
\emph on
número natural
\emph default
 é,
 para Frege,
 um conceito sortal).
 Frege,
 então,
 desiste de sua segunda definição e propõe a terceira e última definição de número cardinal,
 a saber,
 o número que pertence ao conceito F é a extensão do conceito `equinumérico a F'.
 Da mesma maneira,
 Frege define o conceito de direção:
 a direção de uma reta 
\emph on
a
\emph default
 é a extensão do conceito `paralela à reta 
\emph on
a
\emph default
'.
 Frege assume que é conhecido o que é uma extensão de conceito.
 Assim,
 Frege assume que sabemos que Júlio César (ou qualquer outro objeto) não é uma extensão de conceito.
 Ou seja,
 Frege assume um critério de aplicação para o conceito de extensão.
 Mas,
 uma vez que o conceito de número cardinal é definido como sendo uma determinada extensão de conceito,
 então temos também um critério de aplicação para o conceito de número cardinal e,
 assim,
 podemos dizer que Júlio César não é um número
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Em 
\emph on
Grundgesetze der Arithmetik
\emph default
,
 Frege assume a Lei Básica V que tem a mesma forma do Princípio de Hume e que rege a introdução das extensões de conceito.
 Poderíamos novamente questionar se uma extensão é idêntica a Júlio César.
 A Lei Básica V é incapaz de nos dar uma resposta.
 Contudo,
 em 
\emph on
Grundgesetze der Arithmetik
\emph default
 (§10),
 Frege tenta solucionar a questão da identidade.
 Mas,
 ele somente assume,
 neste livro,
 a existência de dois tipos de objetos,
 as extensões (ou,
 de uma forma mais geral,
 percurso de valores) e os objetos o Verdadeiro e o Falso.
 Ou seja,
 o problema é se o Verdadeiro e o Falso são extensões.
 Frege propõe identificar o Verdadeiro e o Falso com quaisquer percursos de valores.
 Ele identificará o Verdadeiro com a extensão {o Verdadeiro} e o Falso com a extensão {o Falso}.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
A seguir,
 Frege tem de dar uma definição lógica do que seja uma correspondência 1-1.
 Na § 71,
 ele define a noção de correspondência entre os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

s e os 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

s.
 Ele escreve:
\end_layout

\begin_layout Quote
Ora,
 se todo objeto que cai sob o conceito 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 encontra-se na relação 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 a um objeto que cai sob o conceito 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

 e se a todo objeto que cai sob 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

 encontra-se na relação 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 um objeto que cai sob 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

,
 então os objetos que caem sob 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

 são correlacionados reciprocamente pela relação 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[§71]{Frege1986}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Assim,
 uma correspondência entre os Fs e os Gs é definida,
 como Frege sugerira na passagem acima,
 da seguinte maneira:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\forall x(Fx\rightarrow\exists y(Gy\&x\varphi y))\&\forall x(Gx\rightarrow\exists y(Fy\&y\varphi x))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
É claro que ainda não temos uma correspondência 1-1,
 pois pode acontecer que um dos Fs esteja na relação 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 com mais de um dos Gs e vice versa.
 Para estabelecer uma correspondência 1-1 entre os Fs e os Gs,
 Frege precisa colocar mais uma cláusula,
 a saber,
 que a relação 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 é uma função 1-1.
 Na §72,
 Frege escreve:
\end_layout

\begin_layout Quote
Assim,
 vimos quando os objetos que caem sob os conceitos F e G estão correlacionados um com o outro pela relação 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

.
 Mas,
 no nosso caso,
 esta correlação tem de ser um-para-um.
 Entendo por isto que as duas seguintes proposições são válidas:
\end_layout

\begin_layout Quote
1.
 Se 
\emph on
d
\emph default
 está na relação 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 com 
\emph on
a
\emph default
,
 e se 
\emph on
d
\emph default
 está na relação 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 com 
\emph on
e
\emph default
,
 então,
 para qualquer 
\emph on
d
\emph default
,
 
\emph on
a
\emph default
 e 
\emph on
e
\emph default
,
 
\emph on
a
\emph default
 é o mesmo que 
\emph on
e
\emph default
.
\end_layout

\begin_layout Quote
2.
 Se 
\emph on
d
\emph default
 está na relação 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 com 
\emph on
a
\emph default
,
 e se 
\emph on
b
\emph default
 está na relação 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 com 
\emph on
a
\emph default
,
 então,
 para qualquer 
\emph on
d
\emph default
,
 
\emph on
b
\emph default
 e 
\emph on
a
\emph default
,
 
\emph on
d
\emph default
 é o mesmo que 
\emph on
b
\emph default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[§72]{Frege1986}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ou seja,
 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 é uma função 1-1 quando 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 é uma função,
 ou seja,
 
\begin_inset Formula $\forall a\forall b\forall d(a\varphi b\&a\varphi d\rightarrow b=d)$
\end_inset

 e sua inversa (ou seja,
 se 
\emph on
a
\emph default
 está na relação 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 com 
\emph on
b
\emph default
,
 então 
\emph on
b
\emph default
 está na relação inversa de 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 com 
\emph on
a
\emph default
.) é também uma função,
 isto é,
 
\begin_inset Formula $\forall a\forall b\forall d(a\varphi b\&d\varphi b\rightarrow a=d)$
\end_inset

.
 Portanto,
 uma correspondência 1-1 é definida da seguinte maneira:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\exists\varphi\{\forall x(Fx\rightarrow\exists y(Gy\&x\varphi y))\&\forall x(Gx\rightarrow\exists y(Fy\&y\varphi x))\&\forall x\forall y\forall z(x\varphi y\&x\varphi z\rightarrow y=z)\&\forall x\forall y\forall z(x\varphi y\&z\varphi y\rightarrow x=z)\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege também,
 na §72,
 define a expressão 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

n é um número cardinal
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Segundo ele,
 
\emph on
n é um número cardinal se e somente se existe um conceito F tal que n é o número cardinal que pertence a F
\emph default
.
 Como o próprio Frege diz,
 esta definição parece ser circular,
 mas a expressão 
\emph on
o número cardinal que pertence a um conceito
\emph default
 já foi definido,
 de maneira que a definição se torna:
 
\emph on
n é um número cardinal se e somente se existe um conceito F tal que n é a extensão do conceito `equinumérico a F'
\emph default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Na §73,
 Frege esboça a prova do Princípio de Hume a partir de sua definição explícita.
 Não discutiremos em detalhes a sua prova aqui
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Boolos (1987a) afirma que Frege implicitamente usa uma lei análoga à Lei Básica V (versão em segunda ordem) para provar que ´[H:H1-1F]=´[H:H1-1G]
\begin_inset Formula $\leftrightarrow$
\end_inset

F1-1G (onde,
 ´[H:H1-1F] e ´[H:H1-1G] significam a extensão do conceito `equinumérico a F' e a extensão do conceito `equinumérico a G',
 respectivamente),
 a saber,
 
\begin_inset Formula $'C='D\leftrightarrow\forall H(C(H)\leftrightarrow D(H))$
\end_inset

 (onde,
 
\emph on
C
\emph default
 e 
\emph on
D
\emph default
 são conceitos de segunda ordem,
 
\emph on
´C
\emph default
 e 
\emph on
´D
\emph default
 são as extensão desses conceitos).
 Portanto,
 a lei acima diz que a extensão de um conceito de segunda ordem C é igual à extensão de um outro conceito de segunda ordem D se e somente se C e D são coextensionais,
 ou seja,
 se e somente se para toda propriedade de primeira ordem H,
 H cai sob C se e somente se cai sob D.
 Boolos então mostra que uma contradição também pode ser derivada da lei acima.
\end_layout

\end_inset

.
 Na §74,
 Frege define o número 0,
 a saber,
 
\emph on
0 é o número que pertence ao conceito `não ser idêntico a si mesmo'
\emph default
.
 Portanto,
 0 é a extensão do conceito ``ser equinumérico ao conceito `não ser idêntico a si mesmo''.
 Uma vez que 0 é uma extensão,
 e Frege assume que já sabemos o que é uma extensão,
 então 0 não é igual a Júlio César.
 Vale mencionar que a extensão do conceito 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

ser equinumérico ao conceito `ser diferente de si mesmo
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

' é igual à extensão do conceito de segunda ordem 
\begin_inset Formula $\neg\exists x\Phi x$
\end_inset

.
 Cai sob este último qualquer conceito de primeira ordem que não é instanciado por nenhum objeto.
 Mas,
 da mesma maneira,
 caem sob o conceito 
\emph on
ser equinumérico ao conceito `ser diferente de si mesmo'
\emph default
 somente conceitos de primeira ordem que não são instanciados por nenhum objeto.
 Por que Frege não escolheu o número 0 como sendo a extensão do conceito de segunda ordem 
\begin_inset Formula $\neg\exists x\Phi x$
\end_inset

?
\end_layout

\begin_layout Standard
Na §76,
 Frege define a relação de sucessor.
 Segundo ele,
 a proposição 
\emph on
n se segue imediatamente após m na série natural dos números
\emph default

\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Aqui há um pequeno problema.
 Austin (na sua tradução de 
\emph on
Die Grundlagen der Arithmetik
\emph default
 (1986)) traduziu a expressão 
\emph on
n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m
\emph default
 por 
\emph on
n se segue imediatamente após m na série dos números naturais.

\emph default
 Entretanto,
 Frege ainda não definiu o conceito de número natural (§83).
 Portanto,
 seguimos a sugestão de Heck e Boolos (1997).
 Contudo,
 a proposição 
\emph on
n se segue imediatamente após m na série natural dos números
\emph default
 é também enganosa.
 Primeiro,
 o que Frege entende por série natural dos números?
 Se for a sequência natural de todos os números cardinais,
 então essa definição não vale para todo número cardinal.
 Se for a sequência natural dos números cardinais para os quais a definição vale,
 então ela é bem definida somente para os números naturais.
 Daí a tradução de Austin.
\end_layout

\end_inset

 tem o mesmo significado que a proposição 
\emph on
existe um conceito F e um objeto x que cai sob F,
 tal que o número cardinal que pertence ao conceito F é n e o número cardinal que pertence ao conceito `cair sob F,
 mas ser diferente de x' é m
\emph default
.
 Em símbolos,
 podemos definir a relação de sucessor
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Na verdade,
 Frege define a relação acima em termos de predecessor.
\end_layout

\end_inset

 da seguinte maneira:
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $Pred(m,n)=_{df}\exists F\exists x[Fx\&n=Nz:Fz\&m=Nz:(Fz\&z\neq x)]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Na §77,
 Frege prova que o número 0 tem um sucessor.
 Uma vez que 0 é um objeto,
 Frege pode considerar então o conceito 
\emph on
ser igual a 0
\emph default
.
 Como ele próprio diz,
 0 cai sob este conceito (ou seja,
 existe um x tal que x cai sob F).
 Porém,
 sob o conceito 
\emph on
ser igual a 0 e não ser 0
\emph default
 não cai nenhum objeto,
 portanto o número que pertence a este conceito é 0 (
\begin_inset Formula $m=Nz:(Fz\&z\neq x)$
\end_inset

).
 Consequentemente,
 o número que pertence ao conceito 
\emph on
ser igual a 0
\emph default
 é o sucessor de 0 (uma vez que 0 cai sob 
\emph on
ser igual a 0
\emph default
 e n é o número deste conceito e 0 é o número do conceito 
\emph on
ser igual a 0 e não ser igual a 0
\emph default
,
 assim n é o sucessor de 0).
 Frege então define 1 da seguinte maneira:
 1 é o número que pertence ao conceito `ser igual a 0'.
 Novamente,
 pela definição,
 1 é a extensão do conceito 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

ser equinumérico ao conceito `ser igual a 0'
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Note que o conceito de segunda ordem 
\begin_inset Formula $\exists_{1}x\Phi x$
\end_inset

 tem a mesma extensão que o conceito 
\emph on
ser equinumérico ao conceito `ser igual a zero'.

\emph default
 Sob ambos cai todo conceito de primeira ordem que é instanciado por um só objeto
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Em geral,
 os números 2,
 3,
 4 ...
 podem ser definidos da seguinte maneira:
 2 é o número que pertence ao conceito `ser igual a 0 ou ser igual a 1',
 3 é o número que pertence ao conceito `ser igual a 0 ou ser igual a 1 ou ser igual a 2' etc.
 Um número natural n é definido tomando-se todos os seus predecessores.
 Note que uma vez que foi provado que 1 é o sucessor de 0,
 e pelo Princípio de Hume,
 sabemos que 0 não é igual a 1,
 então o conceito `ser igual a 0 ou ser igual a 1' é instanciado por dois objetos.
 E uma vez que existe um conceito que é instanciado por dois objetos,
 então 2 é o número que pertence a este conceito.
 Também pode ser provado que 2 é o sucessor de 1.
 Novamente,
 o conceito `ser igual a 0 ou ser igual a 1 ou ser igual a 2' é instanciado por três objetos,
 de maneira que 3 é o número que pertence a este conceito.
 Frege toma números como objetos,
 porque isto garantirá a existência de um conceito que é instanciado por n+1 objetos.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Na §78,
 Frege apresenta uma lista com seis teoremas que podem ser provados por meio das definições acima e o Princípio de Hume.
 Em particular,
 uma proposição importante é a proposição 5 que diz que a relação de sucessor é uma função 1-1.
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\begin_layout Standard
Na §79,
 Frege retoma sua definição de ancestral forte (apresentada em 
\emph on
Begriffsschrift
\emph default
 e comentada acima).
 Como dissemos,
 a proposição 
\emph on
y se segue após x na série
\emph default
 f (
\begin_inset Formula $xf^{*}y$
\end_inset

) significa que 
\emph on
para toda propriedade F,
 se F é hereditária em uma relação f e se para todo objeto a,
 se a está na relação com um objeto qualquer x,
 então a tem a propriedade F,
 então um objeto qualquer y tem a propriedade F
\emph default
 (em símbolos,
 
\begin_inset Formula $\forall F[(Her(F,f)\&\forall a(f(x,a)\rightarrow F(a)))\rightarrow F(y)]$
\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
O conceito de hereditariedade já foi explicado também.
\end_layout

\end_inset

.
 Agora,
 a nossa relação f é a relação de sucessor.
 Assim,
 Frege propõe definir que 
\emph on
y se segue depois de x na série natural dos números da seguinte maneira
\emph default
:
 
\emph on
Pred*(x,y)
\begin_inset Formula $=_{df}$
\end_inset

 
\emph default

\begin_inset Formula $\forall F[(Her(F,Pred)\&\forall a(Pred(x,a)\rightarrow F(a)))\rightarrow F(y)]$
\end_inset

 (§81)
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Vale mencionar que dessa definição é possível provar facilmente o axioma da indução matemática.
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\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Frege também propõe definir o conceito de ancestral fraco (como em 
\emph on
Begriffsschrift
\emph default
),
 a saber,
 
\emph on
y é membro da série f iniciada por x
\emph default
 (
\begin_inset Formula $xf^{*=}y$
\end_inset

) significa que 
\emph on
y se segue após x na série f ou x é igual a y
\emph default
 (
\begin_inset Formula $xf^{*=}y\vee x=y$
\end_inset

) (§81).
 Frege esboça nas §§82-3 a prova de que todo número natural tem um sucessor
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Como dissemos anteriormente,
 segue-se das proposições (1) 0 não é um sucessor;
 (2) a relação de sucessor é uma função 1-1;
 e (3) todo número natural tem um sucessor que existem infinitos números naturais,
 pois,
 caso contrário,
 uma das três proposições seria falsa.
 Assim,
 assumindo que há finitos números e mantendo que sucessor é 1-1 e que todo número tem um sucessor,
 então 0 tem de ser o sucessor de algum número.
 Por exemplo,
 seja o conjunto {0,
 1,
 2,
 3}.
 Sabemos que sucessor é 1-1 (no caso,
 assumiremos a relação de sucessor normal para os números maiores que 0),
 ou seja,
 1 é o sucessor de 0,
 2 é o sucessor de 1,
 3 é o sucessor de 2.
 Mas,
 como também é suposto que todo número tem um sucessor,
 então 0 é o sucessor de 3.
 Assim (1) é falsa.
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\end_inset

.
 Não entraremos aqui nesta prova,
 pois a mesma é muito longa.
 Mas,
 para dar uma ideia intuitiva,
 Frege tenta mostrar que o número dos números naturais que precedem ou são iguais a um número natural m é o sucessor de m.
 Por exemplo,
 o número de números que precedem ou são iguais ao número 0 é 1.
 O número de números que precedem ou são iguais a 1 é 2,
 e assim por diante
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
A prova pressupõe que o conceito de número natural é um conceito sortal,
 ou seja,
 é um conceito que dá uma resposta exata para a questão 
\emph on
quantos Fs existem?
\end_layout

\end_inset

.
 Frege precisa,
 então,
 definir o conceito de número natural (ou finito):
 
\emph on
n é um número natural se e somente se n pertence à série natural dos números iniciada por 0
\emph default
 
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Note que os números naturais são números cardinais fechados sobre 0 e a relação de sucessor (acréscimo de um).
 Assim,
 uma vez que o conceito de número cardinal é um conceito sortal para Frege,
 então o conceito de número natural também será sortal.
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\end_inset

 
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Será dado em apêndice um esboço das provas dos axiomas da aritmética a partir do Princípio de Hume.
\end_layout

\end_inset

.
 Em símbolos:
 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}(n)=_{df}Pred^{*=}(0,n)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Título do capítulo 3 (se houver)
\end_layout

\begin_layout Standard
Desenvolvimento....
\end_layout

\begin_layout Chapter
Título do capítulo 4 (se houver)
\end_layout

\begin_layout Standard
Desenvolvimento....
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset bibtex
LatexCommand bibtex
btprint "btPrintCited"
bibfiles "mybib1"
options "abntex2-alf"

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document
